Основы выбора на базе классического определения вероятности

Пусть имеется n элементов, различающихся свойствами или качествами. Причем среди них r элементов одного типа, l элементов другого типа и т.д., q элементов последнего типа, так что выполняется условие 设有 n 个元素，具有不同性质，在其中有 r 个元素是同一类型， l 个元素是另一类型，以此类推， q 个元素是最后一类，那么满足条件

n = r + l + … + q.

Случайным образом отбирают m элементов, причем порядок выбора не важен, важен только состав отобранной группы элементов. Вероятность того, что в отобранной группе оказалось k элементов первого типа, j элементов второго типа и т. д., i элементов последнего типа, так чтобы 设随机选择 m 个元素，选择顺序不重要，但选择元素分类重要。那么概率为，第一类 k 个元素，第二类 j 个元素，以此类推，最后一类 i 个元素，那么

m = k + j + … + i,

вычисляется по формуле根据公式计算

, (1.1)

где其中 ‑ число сочетаний из n элементов по m:

. (1.2)

Полезно знать и уметь использовать следующие свойства сочетаний: 了解并使用下列属性的组合：

1.

2. (1.3)

3. .

 

1.2. Решение типового задания по теме «Выбор на основе
классического определения вероятности» 解题方法;

Задание № 1. В академической группе 10 студентов проживают в Санкт-Петербурге, 7 приехали из других городов России и 3 иностранца. На прием в деканат пришли 5 студентов из этой группы. Найти вероятности событий:在班级中有10名学生住在圣彼得堡，7名来自俄罗斯其他城市，有3名外国学生。在系主任接待时间到来5名学生。求事件概率：

А. Все – из Санкт-Петербурга.全部来自圣彼得堡

В. 2 – из других городов России и 3 иностранца.2名来自俄罗斯其他城市，3名外国学生

С. 3 – из Санкт-Петербурга, 1 – из другого города России и 1 иностранец. 3名来自圣彼得堡，1名来自俄罗斯其他城市，1名外国学生

D. Все иностранцы пришли на прием.外国学生都来了

Решение. Поскольку порядок выбора не важен в условиях задачи, то пользуемся формулой (1.1).解题时选择顺序不重要，那么根据公式

Определим значения параметров: n = 20, m = 5, r = 10, l = 7, q = 3.

Найдем Р(А). Изобразим графически схему выбора. В левом блоке – общее число участников выбора (20) и их распределение по трем категориям – жители Петербурга, другие россияне и иностранцы (10 + 7 + 3). Стрелки означают выбор. Стрелка слева направо показывает выбор общего числа, вне зависимости от категорий. Стрелки сверху вниз указывают на конкретный выбор из каждой категории. 求概率 Р(А)。; 绘制选择图像，左侧总数20，分为3类，彼得堡、俄罗斯其他城市、外国学生（10＋7+3），剪头代表选择，右指剪头表示选择总数，下指剪头表示分类。

 

 

20
10	7	3

 

Тогда параметрызадачи принимают значения: k = 5, j = i = 0 .

Тогда

Вычислим

В соответствии со свойствами сочетаний .

Тогда

Найдем Р(В). Изобразим графически схему выбора求概率 Р(В) 可同上绘制选择图像

 

20
10	7	3

 

Тогда параметрызадачи принимают значения: k = 0, j = 2, i = 3 .

Тогда

Вычислим

В соответствии со свойствами сочетаний

.

Тогда

 

Найдем Р(С). Изобразим графически схему выбора求概率 Р(C) 可同上绘制选择图像

 

20
10	7	3

 

Тогда параметрызадачи принимают значения: k = 3, j = 1, i = 1 .

 

Тогда

Вычислим

В соответствии со свойствами сочетаний .

Тогда

Вычисленные вероятности событий А, В и С вполне подтверждаются обыденной логикой. Например, студенты из Санкт-Петербурга составляют половину всей академической группы и не встретить их около деканата среди других студентов этой группы – маловероятное событие. Действительно, вероятность события В – наименьшая из всех вычисленных, в частности она приблизительно в 160 раз меньше ближайшей к ней по значению вероятности события С. 求事件A、B、C发生的概率有相应的逻辑性。例如，极小可能发生：全部圣彼得堡学生都在系主任接待时间集合而不会遇到其他学生。而发生B的可能性更小，发生C的概率是B的几乎160倍。

Для того, чтобы найти Р(D), необходимо изменить схему выбора. Действительно, на прием в деканат пришли все иностранцы, т.е. 3 из 3. Для ответа на вопрос задачи не важно, какие именно 2 других студента пришли на прием. То есть выбор производится из двух категорий: «иностранцы» и «не иностранцы». 要求得概率D，需要改变绘制图像的结构，当然3明外国学生全部都到，那么就只在两类中选择：外国学生和非外国学生。Поэтому исходные параметры таковы: 所以

n = 20, m = 5, r = 3, l = 17 (количество «не иностранцев» l = 20 – 3 = 17). Графическая схема выбора такова:

 

20
3	17

 

Тогда параметрызадачи принимают значения: k = 3, j = 2 .

 

Тогда

Вычислим

В соответствии со свойствами сочетаний .

Тогда

Действительно, выбор всей малочисленной категории с математической точки зрения маловероятен, что и демонстрирует значение вероятности события D. 从数学的角度发生D的可能性最小。

1.3. Задания по теме «Выбор на основе классического
определения вероятности» 习题;

 

1.1. В корзине 15 грибов, из них 4 – белых. На суп взяли 8 грибов. Найти вероятности того, что среди них: А – все белые, В – 3 белых, С – 1 белый, D – нет белых. 在篮子中有15个蘑菇，其中有4个白蘑菇。做汤时拿了8个蘑菇。求概率： A－都是白蘑菇， B－3个白蘑菇， C－1个白蘑菇， D－没有白蘑菇。	1.2. На экзамене по курсу – 16 вопросов. Студент знает 10 из них. Каковы вероятности, что в вытащенном на экзамене билете: А – нет знакомых вопросов, В – 1 знакомый вопрос, С – 2 знакомых вопроса, D – все 3 вопроса знакомы. 考试试题共16道试题。学生知道其中十道。求抽取尸体的概率： A－没有知道的， B－1道题知道， C－2道题知道， D－3道题都知道。
1.3. В художественной галере из 10 картин – 6 подделок. Коллекционер случайно выбрал 3 картины. Найти вероятности событий: А – все картины – подделки, В – 1 подлинная и 2 подделки, С – 2 подлинные и 1 подделка, D – все картины подлинные. 在画廊有10幅油画，其中有6幅是赝品。收藏家随机选择3幅，求概率： A－全是赝品， B－1幅真迹2幅赝品， C－2幅真迹1幅赝品， D－全是真迹。	1.4. Среди 8 контрактов фирмы 1 крупный, 3 – средних, остальные – мелкие. Было закончено 4 контракта. Найти вероятности того, что среди готовых контрактов: А – 1 крупный, В – все мелкие, С – 1 крупный, 2 средних и 1 мелкий. 在签署合同的8家公司中，1家大型公司，3家中型公司，其他都是小型公司。现4份合同到期。求现有合同中概率： A－1家大型公司， B－全是小公司， C－1家大型公司、2家中型和1家小型。

 

 

1.5. Среди книг 5 детективов, 4 любовных романа и 3 мистики. В дорогу случайным образом взяли 3 книги. Найти вероятности, что среди них: А – все любовные романы, В – все детективы, С – каждого жанра по 1, D – 2 детектива и 1 любовный роман. 在书中有，5本侦探小说，4本爱情小说，3本神话小说。出门时随手拿了3本书，求其中概率： A－全是爱情小说， B－全是侦探小说， C－每种1本， D－2本侦探和1本爱情小说。	1.6. В отделе академических обменов есть 19 вакансий на семестр. Из них 13 – в Финляндию, 4 – в Германию и 2 – в Китай. 5 студентов экономического факультета стали участниками обмена. Найти вероятности, что они поехали учиться: А – все в Финляндию, В – 4 в Финляндию и 1 в Германию, С – 1 в Финляндию, 3 в Германию и 1 в Китай. D – все не в Финляндию. 在校际交换项目中有19个名额，其中13个到芬兰，4个到德国，2个到中国。5名在经济系的学生参加了交换项目，求概率： A－全部去芬兰， B－4个到芬兰1个到德国， C－1个到芬兰3个到德国， D－全部不去芬兰。
1.7. В результате 17 переговоров были заключены 4 сделки, что соответствует уровню успешности переговоров 20%. Найти вероятности, что в 5 анализируемых переговорах было заключено: А – 5 сделок, В – 4 сделки, С – 2 сделки. 在17次谈判后，签订了4笔买卖合同，符合20％的谈判成功率，求5次谈判的签订合同的概率： A－5笔买卖， B－4笔买卖， C－2笔买卖。	1.8. На прием к врачу пришли 18 иностранных студентов, из них 10 из Китая, 4 – из других стран Азии, 3 – из Африки, 1 – из Европы. 5 из них были госпитализированы. Найти вероятности, что это: А – все китайцы, В – 2 китайца, 1 другой азиат, 1 африканец и 1 европеец. 医生就诊时间有18名外国学生，其中10名中国学生，4名来自其他亚洲国家，3名非洲学生，1名欧洲学生。有5名学生留院观察。求概率： A－全是中国学生， B－2名中国学生、1名其他亚洲国家，1名非洲学生，1名欧洲学生。
1.9. В репертуаре театра 14 спектаклей, из них 8 – успешных, 2 – средних, остальные – провальные. Купили 4 билета на разные спектакли. Найти вероятности событий: А – все спектакли успешные, В – 2 спектакля успешных, 1 средний и 1 провальный, С – 1 спектакль средний, остальные – провальные. 剧院演出预演信息中共14场话剧，其中8场全部售出，2场可能上演，其他不能上演。购买了4场不同话剧票，求概率： A－全部成功演出， B－2场上演，1场可能上演，1场不能上演， C－1场可能上演，其他不能上演。	1.10. В столовой 4 порций салата с крабами, 3 – греческих, 2 – витаминных. Найти вероятности, что 6 студентов случайно взяли такие салаты: А – все греческие, остальные – витаминные, В – по два каждого вида, С – все витаминные, остальные – с крабами, D – все крабовые и 1 греческий. 食堂有4份蟹肉沙拉，3份希腊沙拉，2份蔬菜沙拉。求6名学生随机拿到以下沙拉的概率： A－全部希腊沙拉，其他蔬菜沙拉， B－每种2份， C－全部蔬菜沙拉，其他蟹肉沙拉， D－全部蟹肉沙拉，1份希腊沙拉。