Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА




全概率公式和贝叶斯公式

 

3.1. Основы экспертного оценивания 基本评估

 

Пусть относительно наступления события А можно выдвинуть n попарно несовместных гипотез . . . , априорные вероятности которых известны: . . . , . Обычно предполагают, что гипотезы образуют полную группу, т.е. выполняется условие让事件A相对抽出n对不相容的假设为 . . . ,先期已知的概率为 . . . , ,一般假定组成完整分组,满足下面条件:

. . . . (3.1)

Событие Аможет наступить только вместе с одной из гипотез, причем известны условные вероятности наступления этого события . . . , . Тогда вероятность наступления события А может быть вычислена по формуле полной вероятности:事件A发生出现一种假定的概率为 . . . , ,那么发生事件A的全概率可根据公式得出:

. . .

+ . (3.2)

Пусть событие А произошло. Тогда можно переоценить вероятности гипотез, которые приводят к появлению этого события. Апостериорные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:让事件A发生,那么可以假定发生的概率。实际发生的概率可以根据贝叶斯公式求得:

, , (3.3)

где вычисляется по формуле полной вероятности (3.2).

Если событие А не произошло, это означает, что произошло противоположное событие . Его вероятность находится по формуле полной вероятности, аналогичной (3.2). При этом вероятности гипотез не меняются, а условные вероятности наступления события находятся по формуле вероятности противоположного события: 如果事件A没有发生,这意味着发生对立事件A,它的概率可根据全概率公式得到。这个情况下假定不发生变化,那么事件A发生的条件可根据对立事件公式得出:

.

Апостериорные вероятности гипотезнаходятся по формуле Байеса, аналогичной (3.3).

 

 

3.2. Пример решения типового задания по теме
«Формула полной вероятности и формула Байеса»例题解答

 

Задание № 3. На курсе 120 студентов обучаются по направлению подготовки «Регионоведение», 70 – «Реклама». Абсолютная успеваемость студентов – регионоведов составляет 85%, студентов-рекламщиков – 55%. 《区域学》有120名学生,《广告学》有70名。顺利结束学业的学生《区域学》85%,《广告学》55%。

1. Какова вероятность, что случайно выбранный студент данного курса – успевающий?随机抽取到顺利结业学生的概率

2. Найти вероятность, что этот студент обучается по направлению подготовки «Реклама». 求抽取到《广告学》学生的概率

Решение. Событие А – выбранный студент успевающий. Выбранный студент может обучаться по одному из двух направлений подготовки, т.е. рассматриваем две гипотезы:事件A-顺利结业,所选学生可以学习其中一个方向,那么分析两种情况

– студент обучается по направлению «Регионоведение»,学生学习《区域学》

– студент обучается по направлению «Реклама».学生学习《广告学》

Тогда вероятности гипотез равны процентным долям студентов этих направлений относительно общего числа студентов курса. На курсе учится 120 + 70 = 190 студентов. Поэтому вероятности гипотез можно вычислить так:那么概率等于学习各专业方向除以总人数。总人数味190人,所以:

,

.

Заметим, что выполняется условие (3.1), что делает возможным впоследствии применять формулу Байеса. Действительно如果满足(3.1)的条件,就可以使用贝叶斯公式。

.

Вероятность того, что студент-регионовед успевает равна 85%, т.е.

. Аналогично для студента-рекламщика .

Тогда вероятность того, что выбранный студент успевающий, можно найти по формуле полной вероятности (3.2):所选顺利结业学生的概率,可以用全概率公式求得:

.

Значит, абсолютная успеваемость студентов курса составляет примерно 74%. 也就是说整个年级学生合格率为74%.

Найдем вероятность того, что выбранный случайным образом студент обучается по направлению «Реклама». Применяем формулу Байеса (3.3):求随机抽取的学习《区域学》的学生概率,可通过贝叶斯公式求得:

.

Вероятность составляет примерно 27%. Это немного, и вполне укладывается в представления житейской логики – действительно, и студентов-рекламщиков на курсе меньше и доля успевающих среди них ниже, чем среди регионоведов.概率大约是27%,这个概率不大,也是遵循逻辑可信的,那么年级中广告学学生更少,并且顺利结业的学生也更少。

 

3.3. Задания по теме «Формула полной вероятности
и формула Байеса» 习题

3.1. В магазине марокканских мандаринов в 3 раза больше, чем турецких. Вероятность порчи марокканских мандаринов – 20%, а турецких – 35%.在商店中摩洛哥橘子是土耳其橘子的三倍,有20%的摩洛哥橘子坏掉,35%的土耳其橘子坏掉。 1. Найти вероятность, что случайно взятый мандарин – качественный.求拿到没坏掉的橘子的概率。 2. Какова вероятность, что этот мандарин – турецкий? 拿到土耳其橘子的概率。 3.2. В студенческой группе парней в 3 раза больше, чем девушек. Парни пропускают 50% занятий, а девушки – только 10%. 在班级中男生数量是女生的3倍,5男生出勤率50%,而女生只有10%。 1. Найти вероятность, что случайно выбранный при проверке студент отсутствует на занятии.求随机抽查时旷课学生的概率。 2. Какова вероятность, что это парень?抽查到男生的概率。
3.3. На диване 9 подушек, из них 3 жесткие. Вероятность спать со снами на мягкой подушке – 70%, на жесткой – 40%. Каждую ночь подушка выбирается случайно.在沙发上有9个枕头,其中有3个硬的。睡觉时睡软枕头做梦的概率时70%,硬枕头时40%。每个晚上选什么枕头时随机的。 1. Какова вероятность увидеть сон?求做梦的概率。 2. Какова вероятность, что при этом выбрали жесткую подушку?选到硬枕头的概率。 3.4. Вероятность увидеть ночью добрый или дурной сон равная. Вероятность запомнить добрый сон 75%, а дурной – 15%.晚上做噩梦和做美梦的概率是一样的。记住美梦的概率是75%,记住噩梦的概率是15%。 1. Какова вероятность запомнить сон?求记住梦的概率。 2. Найти вероятность, что при этом сон – добрый.求做美梦的概率。

 

3.5. В обменных группах в России 75% студентов из Финляндии, 20% из Германии и 5% из Китая. Финны заболевают в Санкт-Петербурге с вероятностью 5%, немцы – 50%, а китайцы – 60%. 在俄罗斯的交换学生中有75%来自芬兰,20%来自德国,5%来自中国。在圣彼得堡生活生病的概率是:芬兰学生5%,德国学生50%,中国学生60%。 1. Найти вероятность, что случайно выбранный студент, приехавший в Санкт-Петербург по обмену заболеет.求随机选取的生病学生的概率。 2. Какова вероятность, что это немец?选到德国学生的概率。 3.6. У бабушки 6 серых, 4 черных и 2 рыжих кота. Серые коты воруют мясо с вероятностью 20%, черные – 50%, а рыжие – 90%. Ночью один из котов случайно пробрался на кухню.奶奶有6只灰色的猫,4只黑色的,2只土黄色。灰色的有20%的概率偷肉,褐色的有50%的概率,土黄色有90%的概率。半夜有一只猫进了厨房。 1. С какой вероятностью мясо будет украдено?肉被偷的概率。 2. Какова вероятность, что это сделал черный кот?求肉被黑猫偷走的概率。
3.7. Фирма выполняет 5% крупных проектов, 40% средних и 55% мелких. Вероятность серьезных ошибок в мелком проекте 10%, в среднем – в 2 раза выше, а в крупном – в 4 раза выше.公司完成5%的大型项目,40%的中等项目,55%的小项目。小项目出现严重错误的概率是10%,中等项目高两倍,大型项目高四倍。 1. Найти вероятность, что в случайно проверенном проекте оказалась ошибка.求随机检查出错误的概率。 2. Какова вероятность, что это крупный проект?求随机抽到大型项目的概率。 3.8. В художественной галерее 20% картин XVIII века, 40% – XIX века, а остальные – XX века. Среди картин XVIII века 80% подделок, среди картин XIX века – 40%, а среди картин ХХ века – 5%. Купили 1 картину.在画廊有20%的油画是18世纪的,40%是19世纪的,其他事20世纪的。在18世纪油画中80%是赝品,19世纪中40%是赝品,20世纪中5%是赝品。随机买一幅油画。 1. Найти вероятность, что она подлинная.求买到真迹的概率。 2. Какова вероятность, что это оказалась картина XVIII века?求买到18世纪油画的概率。    
3.9. В группе студентов программы «Международный семестр» 10 финнов, 5 немцев, 4 австрийца и 2 чеха. Финны пропускают занятия с вероятностью 70%, немцы – 15%, австрийцы – 20% и чехи – 40%.在国际交流学期项目班,有10名芬兰学生,5名德国学生,4名奥地利学生,2名捷克学生。芬兰学生旷课概率是70%,德国15%,奥地利20%,捷克40%。 1. С какой вероятностью случайно разыскиваемый студент пропустил занятия?随机抽到旷课学生的概率。 2. Какова вероятность, что это чех?求抽到旷课的是捷克学生的概率。 3.10. Преподаватель А спрашивает на экзамене в 3 раза больше студентов, чем В. При этом он ставит двойку с вероятностью 70%, а преподаватель В – с вероятностью 20%. 教师A在考试中提问的数量是教师B的3倍。教师A给不及格的概率是70%,教师B是20%。 1. С какой вероятностью случайно выбранный студент получит положительную оценку?随机抽到学生通过考试的概率。 2. Какова вероятность, что эту оценку поставил преподаватель А?随机抽到学生是由教师A通过考试的概率。

 


Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой





Дата добавления: 2015-10-01; просмотров: 743. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.021 сек.) русская версия | украинская версия
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7