Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ




Доверь свою работу кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

二项分布、伯努利实验
(СХЕМА БЕРНУЛЛИ)

6.1. Основы теории биномиального распределения 二项分布基本理论

Пусть производится серия из n независимых опытов, в каждом из которых событие А может появиться с одинаковой вероятностью p, или не появиться с вероятностью q = 1 - p. Каждое появление или непоявление события А в любом из опытов серии не зависит от исхода других опытов этой же серии. Такая серия опытов называется схемой Бернулли. Случайная величина Х это число появлений события А в серии из n опытов. Х дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону. Ряд распределения этой ДСВ Х имеет вид: 设重复进行n次实验,,实验结果只有发生或不发生两种可能,概率为p 和q,q=1-p,这一连串重复的独立实验为n重伯努利实验。X表示n重伯努利试验中A发生的次数,X 是一个随机变量,我们来求他的分布律。

Х . . . n
Р . . .

 

Здесь , т.е. представляет собой вероятность того, что событие А появится ровно k раз в серии из n опытов. Эти вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

, (6.1)

где биномиальный коэффициент, или число сочетаний из n элементов по k, которое находится по формуле (1.2):

. (6.2)

Вероятность того, что событие А появится от l до m раз в серии из n опытов можно найти по формуле

. (6.3)

Математическое ожидание ДСВ, распределенной по биномиальному закону, вычисляется по формуле

. (6.4)

Дисперсия ДСВ, распределенной по биномиальному закону, вычисляется по формуле

. (6.5)

Полигон и функция распределения ДСВ, распределенной по биномиальному закону, строятся, как и для любой дискретной случайной величины, по правилам, описанным в разд. 5.

 

6.2. Пример решения типового задания по теме
«Биномиальное распределение»例题详解

Задание № 6. Студент может получить пятерку на экзамене с вероятностью 60%. Найти ряд распределения числа пятерок, которые студент может получить в сессию из 3 экзаменов. Найти математическое ожидание и дисперсию числа пятерок, а также вероятность того, что их будет меньше 2. Построить полигон и функцию распределения.学生有60%的概率在考试时的5分,求学生参加3门考试获得5分的分布律。求数学希望值与方差,以及获得两个以下5分的概率。并绘制分布函数图像。

Решение. Случайная величина Х число пятерок, которые студент может получить в сессию, очевидно, распределена по биномиальному закону.Действительно проводится ряд испытаний – экзаменов, в каждом из которых может появиться событие А – студент получает пятерку. Эти испытания по условиям задачи проводятся независимо, т.е. результат сдачи каждого из экзаменов не влияет на результат сдачи остальных, по крайней мере, в условиях задачи это не оговаривается. Значит, в нашем праве построить самую простую вероятностную модель изучаемого события – сдачи студентом сессии. В пользу нашего заключения свидетельствует один приведенный в условии факт – вероятность получения пятерки на каждом из экзаменов постоянна для данной сессии данного студента и равна p = 0,6. Соответственно q = 1 - p = 1 – 0,6 = 0,4. Здесь кроется источник главной идеализации, допускаемой при сведении задачи к схеме Бернулли. Действительно, любой, хоть немного знакомый с психологией, либо умудренный пусть и небольшим житейским опытом, понимает, что получение или не получение пятерки уже на первом экзамене, скорее всего, то есть с большой долей вероятности, повлияет на результаты сдачи студентом остальных экзаменов. Как оно повлияет – неясно. Действительно, студент, получив пятерку на первом экзамене, может почувствовать себя окрыленным и «влёт» сдать остальные, а может, наоборот, расслабиться... Для построения более точных вероятностных моделей необходимы серьезные исследования в области педагогической психологии, обработка больших объемов статистических данных и т.д. Ясно, что при решении задач, дающих ответы на глобальные вызовы современности, так и должно происходить. В простых же случаях, подобных нашему, вполне уместна и упрощенная схема Бернулли.

Поскольку наибольшее число пятерок, которые студент может получить в сессию равно 3, то n = 3, и ряд распределения ДСВ имеет вид

随机变量X是学生的5分的数量,学生获得5分是实验A,这个满足重伯努利实验定律,每一次实验室独立的,每次获得的成绩不影响其他考试的成绩,那么得5分的概率 p = 0,6. 相反不得五分的概率q = 1 - p = 1 – 0,6 = 0,4。有三门考试,所以最多有3个5分,所以 n=3, 一次建立随机变量分布

 

Х
Р

 

Чтобы получить конкретный вид ряда распределения, найдем вероятности по формулам Бернулли (6.1): 伯努利概率公式(6.1)

где биномиальные коэффициенты найдены по формуле (1.2) с учетом соотношений (1.3). 其中二项式系数 由公式(1.2)求出,并考虑上述关系( 1.3)Тогда ряд распределения ДСВ принимает вид那么该系列随机分布变量分布的形式

 

Х
Р 0,064 0,288 0,432 0,216

 

Полигон строится способом, подробно описанным в разд. 4 и 5. Его график приведен на рис. 6.1. Четко выделяется мода распределения, равная 2: mod = 2. 图像建立方法在4和5部分详细分析。在图6.1 中建立图像。清晰可辨众数的分布

Рис. 6.1. Полигон числа пятерок, полученных
студентом в сессию

学生在考试中的成绩图像

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, находятся по формулам (6.4) и (6.5) 数学期望与随机变量X的方差,根据根据公式(6.4) и (6.5)如下

,

.

Вероятность того, что студент получит не меньше 2 пятерок в сессию, означает вероятность, что он может получить 2 или 3 пятерки, которая вычисляется по формуле (6.3): 学生在会话考试中获得不少于2个五分的概率由下式计算出

.

Эта вероятность оказывается более 50%, поскольку события, состоящие в получении 2 или 3 пятерок, являются наиболее вероятными во всем ряде распределения. 这个概率显示出50%以上,根据事实,取得两个或三个五分具有最大的可能性

Для построения функции распределения величины Х, распределенной по биномиальному закону, воспользуемся правилом (5.5): 为了构造X的分布函数,根据二项式分布规律,我们使用:

,

,

,

,

.

Таблица значений функции распределения имеет вид函数的值分布的表格形式

 

Х
F(x) 0,064 0,352 0,784

График этой ступенчатой функций изображен на рис. 6.2. Причем по обеим осям координат выбран различный, способствующий наглядности изображения, масштаб. 根据不同的比例在两轴上建立了该阶梯函数的曲线,示于图6.2 。

Рис. 6.2. Функция распределения биномиального
закона для примера № 6函数方差分布图像

 

 

6.3. Задания по теме «Биномиальное распределение» 习题

6.1. Переговоры завершаются сделкой в 30% случаев. Найти ряд распределения числа заключенных сделок, если было проведено 6 переговоров. Найти математическое ожидание и дисперсию числа заключенных сделок, а также вероятность того, что будет заключено больше 3 сделок. Построить полигон и функцию распределения. 交易谈判成功的概率是30%。求出如果进行6次交易谈判中成功的次数的数量分布,以及大于余3个成功交易谈判的可能性的数学期望和方差。建射点分布和分布函数图像。 6.2. Вероятность потеряться в незнакомом городе 15%. Найти ряд распределения числа потерявшихся, если в Санкт-Петербург приехала группа из 5 американских студентов. Найти математическое ожидание и дисперсию числа потерявшихся, а также вероятность того, что потеряется меньше 3 студентов. Построить полигон и функцию распределения. 在一个陌生城市迷路的概率是15 %。如果在一个有5名学生从美国抵达圣彼得堡的班级中。求出迷路人数的数量分布,以及少于3个学生的可能性的数学期望和方差。建射点分布和分布函数图像。  

 

6.3. За неделю хранения портится 35% груш. Найти ряд распределения числа испорченных груш из 4 хранящихся. Найти математическое ожидание и дисперсию числа испорченных груш, а также вероятность того, что за неделю будет испорчено больше 2 груш. Построить полигон и функцию распределения. 一周内储存的梨中有35%变质坏掉。求出从4个仓库中储存的梨中变质的数量分布,以及在同样变质概率的情况下,一周内周会变质的超过2个梨的数学期望和方差,建立射点分布和函数分布图像。 6.4. Вероятность появления черного котенка в одном помете 25%. Найти ряд распределения числа черных котят, если родилось 4 котенка. Найти математическое ожидание и дисперсию числа черных котят, а также вероятность того, что в помете будет меньше 3 черных котят. Построить полигон и функцию распределения. 一窝猫崽中出现一只黑色的小猫有25%的概率。求出如果出生4只小猫,其中黑色小猫的数量分布。以及在一窝猫中25%出现黑色小猫的概率的情况下,一窝猫崽少于三只黑色小猫的期望和方差。并建立设点分布和函数分布图像。
6.5. 64% новых импортных автомашин не требуют ремонта в течение 2-х лет после начала эксплуатации. Найти ряд распределения числа таких машин среди 5-и, купленных автопарком одновременно. Найти математическое ожидание и дисперсию числа таких машин, а также вероятность, что их будет не меньше 3-х. Построить полигон и функцию распределения. 64 %的进口新车开始使用后两年内不需要维修。求出5辆车中新车的数量分布。以及求出当少于三辆时的数学期望和方差,并建立射点分布和函数分布图像。 6.6. Согласно наблюдениям 57% музыкантов опаздывают на репетиции своих групп. Найти ряд распределения числа музыкантов, опаздывающих на репетицию среди 4 участников группы «Ага». Найти математическое ожидание и дисперсию числа опаздывающих музыкантов, а также вероятность, что их будет больше 1. Построить полигон и функцию распределения. 根据观察结果,57%的音乐家会在排练中迟到。求出4名«Ага»乐团音乐家迟到的数量分布。以及求出如果迟到的音乐家超过一位时的数学期望和方差。并建立射点分布和函数分布图像。
6.7. Страховая компания платит по КАСКО в 34% случаев. Найти ряд распределения числа получивших страховые премии среди 5 заявителей. Найти математическое ожидание и дисперсию числа получивших страховки, а также вероятность того, что их будет не больше 3. Построить полигон и функцию распределения. 保险公司赔偿中有34%是按照责任险支付的。求出收到五份申请保费的数量分布。以及求出支付保费的数量不超过3份的数学期望和方差,并建立射点分布和函数分布图像。 6.8. Старый мобильник не реагирует на 38% вызовов. Найти ряд распределения числа пропущенных звонков из 4 вызовов. Найти математическое ожидание и дисперсию числа пропущенных звонков, а также вероятность того, что будет пропущено более 1 звонка. Построить полигон и функцию распределения. 有35%的旧手机不能接通。求出有四个通话中未接电话的数量分布。以及超过一次响铃中有未接电话的数学期望和方差。建立射点分布和函数分布图像。

 

6.9. Всхожесть тюльпанов составляет 22%. Найти ряд распределения числа появившихся тюльпанов из 6 посаженных луковиц. Найти математическое ожидание и дисперсию числа тюльпанов, а также вероятность того, что взойдет более 4 тюльпанов. Построить полигон и функцию распределения. 有22%的郁金香会发芽。求出六只郁金香芽茎发芽的数量分量分布。以及超过四只郁金香苗发芽的数学期望和方差。并建立射点分布和函数分布图像。 6.10. 28% рынка автомобилей составляют японские машины. Найти ряд распределения числа японских машин среди 4 на стоянке. Найти математическое ожидание и дисперсию числа японских машин, а также вероятность того, что их будет не меньше 2. Построить полигон и функцию распределения. 汽车市场中28%的车辆是日系车。求出在停车场中4辆是日系车的数量分布。以及当停车场不少于2辆日系车的数学期望和方差。并且同时建立射点分布和函数分布图像。

7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
(ЗАКОН РЕДКИХ СОБЫТИЙ)泊松分布







Дата добавления: 2015-10-01; просмотров: 1024. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.025 сек.) русская версия | украинская версия