ІІ.5.3. Комбинаторика крестовых клеточных структур

Результаты последовательных ите-раций исходной квадратной клетки мо-жно представить элементами комбина-торных композиций, плотно упаковы-вающих плоскость.

Исходная квадратная клетка в ком-бинаторном соединении покрывает плоскость непрерывной сетью квадра-тов с тождественно расположенными сторонами.

5-клеточные кресты плотно упако-вывают плоскость, примыкая друг к другу по свастикообразным швам. Ко-личественной характеристикой их вза-имного расположения можно принять отношения катетов прямоугольных тре-угольников, гипотенузы которых со-единяют центры этих крестов. В дан-ном случае эти треугольники являются половинами двойных квадратов с отно-шением малых катетов К_m к большим К_b как 1 к 2. При этом подкоренное значе-ние длины гипотенузы (5) равно числу квадратов, слагающих каждый крест (рис.ІІ.39).

Рис. ІІ.39. Комбинаторное соединение четырёх пятиклеточных крестов

 

Комбинаторика 4-х 29-клеточных элементов определяет их плотную упа-ковку благодаря замковым соединени-ям. Прямые, соединяющие их центры, являются гипотенузами прямоугольных треугольников с отношением катетов 2 к 5. Комбинаторная композиция этих фигур образует их систему как единое

Рис. ІІ.40. Замковое соединение 4-х фигур второй итерации квадрата

Рис. ІІ.41. Замковое соединение 4-х фигур третьей итерации квадрата

Рис. ІІ.42. З амковое соединение четырёх фігур четвёртой итерации квадрата

 

целое, структура связей которой опре-деляется их замковыми соединениями

(рис. ІІ.40).

Комбинаторное соединение четы-рёх 169-клеточных фигур в замок обра-зует их систему как единое целое. Прямые, соединяющие центры этих фигур, являются гипотенузами прямо-угольных треугольников, малые катеты которых относятся к большим как 5 к 12. Сумма их квадратов (25 и 144) равна квадрату гипотенузы (169), в свою очередь, численно равному коли-честву клеток в каждой из соединяемых фигур (рис. ІІ. 41).

Комбинаторное сое-динение четырёх 985-клеточных фигур в за-мок образуют их систе-му как единое целое. Прямые, соединяющие центры этих фигур, яв-ляются гипотенузами прямоугольных треуго-льников, малые катеты которых относятся к бо-льшим как 12 к 29. Сум-ма их квадратов (144 и 841) равна квадрату ги-потенузы (985),в свою очередь, численно рав-ному количеству клеток в каждой из соединя-емых фигур (рис. ІІ. 42).

Следуя принятой методике преобразо-вания фигур предыду-щих итераций в по-следующие, можно получать всё более сложные по своей геометрической стру-ктуре фигуры после-дующих итераций, ра-сширящихся до беско-нечно больших разме-ров.

Сравнительная оценка изменения от-ношений катетов в треугольниках, гипо-тенузы которых соединяют центры этих фигур, позволяет определить количе-ственный закон протекания всего ите-рационного процесса.(см.табл. 1).

Таблица 1

№ итера- ции – (n)	I	II	III	IV	V	VI	VII
k b катет ольшой
k m – катет малый
Число клеток
Число сторон

Анализ таблицы указывает на сле-дующую закономерность:

k_b(n) = 2k_b(n-1) + k_{m (n – 1).}

Поскольку k_m(n-1) = k_b(n-2), то тогда

k_b(n) = 2k_b(n-1) + k_{b (n-2)},

откуда возникает новый числовой ряд

вида:

an = 2an-1 + an-2

Это выражение является рекур-рентной формулой итерационного про-цесса расширения квадрата.

Числовой ряд, определяющий ха-рактер изменения количества клеток в фигурах последовательных итераций, начиная с третьей, выражается следу-ющей зависимостью:

an = 6an-1 – an-2

Особенности изменения количест-

ва сторон последовательных резуль-таттов итераций, начиная с 3-ей, опи-сывается следующим выражением:

an = 4 аn-1+ аn-2

 

 

Эти три числовых ряда определя-

ют соответственно качественные и ко-

личественные характеристики дина-

мических процесов роста объектов жи-

вой и неживой природы, имеющих кле-

точное строение.