Дифференциальное уравнение упругой линии

 

Зависимость кривизны 1/r изогнутой оси бруса от изгибающего момента М_x выражается формулой [1, 2]:

(5.3)

где Е – модуль упругости первого рода материала бруса; J_х – момент инерции его поперечного сечения относительно нейтральной оси х.

Произведение EJ_х условно называют жесткостью сечения при
изгибе.

В случае чистого изгиба балки постоянного сечения
1/r = М_х/(ЕJ_х) = const, то есть балка изгибается по дуге окружности радиусом r.

Однако при поперечном изгибе 1/r ≠ const, кривизна изменяется по тому же закону, по которому изменяется величина М_х(z)/(ЕJ_х). При этом влиянием поперечной силы Q_у на величину кривизны пре-небрегают.

Непосредственно применить формулу (5.3) для определения прогибов при поперечном изгибе затруднительно. Поэтому используют известное из математического анализа выражение кривизны:

1/r = у"/[1+(y')²]^3/2, (5.4)

где y'(z) ≈ j(z). Для балок большой жесткости есть малая величина, измеряемая тысячными долями радиана. На этом основании (y')²<<1, и потому

1/r ≈ у"(z), (5.5)

то есть кривизна с достаточной для практических целей точностью равна второй производной от функции прогибов y(z).

Подставив (5.5) в (5.3), получаем приближенное дифференциальное уравнение упругой линии:

у"(z) = М_х/(ЕJ_х). (5.6)

Для балки постоянного сечения его обычно записывают в виде:

ЕJ_х·у"(z) = М_х(z). (5.7)

Интегрируя это уравнение, получаем общие выражения для углов поворота сечений и прогибов на участке балки, для которого составлено аналитическое выражение изгибающего момента М_х(z):

Постоянные интегрирования С и D определяют из граничных условий. После их определения становится возможным вычисление перемещений любого заданного сечения.

Пример 5.1. Определить угол поворота сечения С и максимальный прогиб балки (рис. 5.2).

 

 

Рисунок 5.2 – Расчетная схема к примеру 5.1

 

Решение: реакции опор, найденные из уравнений равновесия статики, показаны на рис. 5.2.

Балка имеет два участка: I и II. Аналитические выражения изгибающих моментов:

Дифференциальные уравнения упругой линии по участкам:

В результате их интегрирования имеем:

Для определения четырех постоянных С₁, С₂, D₁, D₂ имеем четыре граничных условия:

1) y₁(0) = 0; 2) y'₁ (a) = y'₂ (a); 3) y₁(a) = y₂(a); 4) y₂(ℓ) = 0.

Из условия 1 находим D₁ = 0.

Из условия 2: С₁ = С₂; из условия 3: D₁ = D₂.

Условие 4 с учетом того, что D₂ = D₁ = 0, дает:

Окончательно получаем уравнения углов поворота сечений и прогибов балки в следующем виде:

Угол поворота сечения С:

В сечении, в котором прогиб максимален, касательная к упругой линии параллельна оси Oz, то есть j (z₀) = 0, где z₀ – координата этого сечения.

Пусть b > a, тогда из рис. 5.2 следует, что z₀ > a.

Из уравнения углов поворота сечений для второго участка, полагая y'₂(z₀) = 0, находим:

Подставив найденное значение z₀ в выражения для y₂(z), получаем наибольшее значение прогиба:

 

Знак (–) указывает на то, что центр тяжести поперечного сечения перемещается в отрицательном направлении оси Oy, то есть вниз.

В случае, если a > b, аналогично получаем:

 

В рассмотренном примере постоянные интегрирования были найдены сравнительно легко. Однако при большом числе участков задача их определения из граничных условий существенно усложняется, так как возникает необходимость в совместном решении большого числа алгебраических уравнений: для балки с n участками нужно составить и совместно решить 2n уравнений.

Поэтому для определения перемещений чаще применяют другие методы, отличающиеся меньшей трудоемкостью.