Пример решения задачи № 3. Требуется определить главные центральные моменты инерции плоского сечения заданной формы (рис

 

Требуется определить главные центральные моменты инерции плоского сечения заданной формы (рис. 4.7).

Решение: вычерчиваем заданное сечение в масштабе, разбиваем его на элементарные фигуры, которым присваиваем номера: I – прямоугольник, II – треугольник, III – четверть круга.

1. Определение центра тяжести сечения.

Обозначаем на чертеже сечения центры тяжести его элементов (C_i) и проводим через них центральные оси, соответственно параллельные между собой. Вычисляем и указываем на чертеже расстояния между осями (см. рис. 4.7). Находим площади элементов сечения:

 

Площадь заданного сечения:

 

Определяем положение центра тяжести сечения в системе координат C₁x₁y₁:

Указываем центр тяжести сечения на чертеже (т. С) и проводим через него оси x₀, y₀, соответственно параллельные осям элементарных фигур. Вычисляем и указываем на чертеже расстояния между осями x₀, y₀ и соответствующими осями x_i, y_i.

 

Размеры в см

а 3 = b3 = = 3,82 см

Ju = 9018 см4 Jv = 11816 см4

Рисунок 4.7 – Нестандартное сечение и его элементы

 

Проверим вычисления, определив статические моменты сечения относительно осей x₀, y₀:

Центр тяжести сечения найден верно.

2. Определение осевых и центробежного моментов инерции сечения.

Вычисляем осевые и центробежные моменты инерции элементарных фигур (см. рис. 4.7) по соответствующим формулам (см. рис. 4.4):

; ;

;

.

Находим осевые и центробежный моменты инерции заданного сечения относительно осей x₀, y₀, пользуясь зависимостями (4.3) и (4.4):

3. Определение положения главных центральных осей и вычисление значений главных центральных моментов инерции сечения.

Следовательно,

Для получения направлений главных центральных осей оси х₀, у₀ следует повернуть против хода часовой стрелки, так как .

Вычисляем значения главных центральных моментов инерции сечения:

Проверяем правильность определения величин I_u и I_v:

Главные центральные оси u (min) и v (max) показаны на чертеже (см. рис. 4.7).

Рекомендуемая литература

 

1. Алмаметов, Ф.З. Расчетные и курсовые работы по сопротивлению материалов / Ф.З. Алмаметов, С.И. Арсеньев, С.А. Енгалычев и др. – М.: Высшая школа, 1992. – С. 19-31.

2. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев. – М.: Наука, 1986. –С. 121-132.

3. Смирнов, А.Ф. Сопротивление материалов / А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Н.И. Монахов и др. – М.: Высшая школа, 1975. –
С. 137-149.

4. Кобяков, Е.Т. Определение геометрических характеристик плоских сечений с применением ЭВМ / Е.Т. Кобяков, И.С. Шуев. – Орел: ОФ МИП, 1993. – 26 с.