Пример решения задачи № 2. Требуется определить главные центральные моменты инерции несимметричного сечения, составленного из прокатных профилей (рис

 

Требуется определить главные центральные моменты инерции несимметричного сечения, составленного из прокатных профилей
(рис. 4.6): I – швеллер № 10, II – уголок 5 ´ 3,2 ´ 0,4 (см).

 

Размеры в см

Ju = 52,6 см4 Jv = 195,0 см4

Ju = 52,6 см4 Jv = 195,0 см4

Рисунок 4.6 – Сечение к задаче № 2

Решение: по размерам, взятым из таблиц (ГОСТ 8240-72 и
8510-72), вычерчиваем заданное сечение, согласно данным варианта, в масштабе.

1. Определение центра тяжести сечения.

В соответствии с присвоенными элементам сечения номерами
(I –швеллер, II – уголок) обозначаем их центры тяжести (С₁ и С₂), через которые проводим соответственно параллельные центральные оси х₁, y₁ и х₂, y₂. Вычисляем расстояния между осями и указываем их на чертеже.

Площади сечений швеллера и уголка даны в таблицах стандартов:

F ₁ = 10,90 см²; F ₂ = 3,17 см².

Площадь всего сечения:

Определим положение центра тяжести заданного сечения в системе координат C₁х₁у₁ по формулам (4.1):

Показываем центр тяжести сечения на чертеже (т. С). (Если координаты х_1c и у_1c найдены верно, то точка С должна лежать на прямой между точками C₁, C₂).

Через центр тяжести сечения (т. С) проводим оси x₀, y₀ и указываем расстояния между осями x₀ и x₁, y₀ и y₁ (см. рис. 4.6).

2. Определение осевых и центробежного моментов инерции се-чения.

Выписываем из таблиц стандартов необходимые значения моментов инерции элементов сечения относительно указанных на чертеже (см. рис. 4.6) осей:

Ось u₂ для уголка есть ось минимального момента инерции. Она наклонена к центральной оси, параллельной длинной полке, под углом α;₂ (согласно ГОСТ 8510-72, tg α;₂ = 0,401) и пересекает обе полки уголка. В данном случае

.

Вторая главная центральная ось уголка (v₂) перпендикулярна к оси u₂. Для этой оси

.

Центробежный момент инерции уголка относительно его центральных осей x₂, y₂ (см. рис. 4.6):

Это значение может быть проверено по формуле

Для швеллера оси x₁, y₁ являются главными центральными, так как ось х₁ есть ось симметрии. Поэтому .

По формулам (4.3) и (4.4) вычисляем осевые и центробежный моменты инерции заданного сечения относительно центральных
осей x₀, y₀:

3. Определение положения главных центральных осей и вычисление значений главных центральных моментов инерции сечения.

.

Следовательно,

Так как , оси x₀, y₀ для получения направлений главных центральных осей заданного сечения следует повернуть против хода часовой стрелки.

Вычисляем значения главных центральных моментов инерции сечения:

Проверяем правильность определения величин I_u, I_v:

Главные центральные оси u (min) и v (max) проведены на чертеже сечения (см. рис. 4.6).