Пример расчета балки к заданию

 

Для балки двутаврового поперечного сечения (рис. 5.8, а) требуется:

1) подобрать номер двутавра по условию прочности при изгибе, приняв [s] = 160 МПа (R = 200 MПа);

2) проверить прочность балки по наибольшим касательным напряжениям, возникающим в поперечных сечениях, приняв [τ] = 100 МПа (R_с = 110 МПа);

3) построить упругую линию и проверить балку на жесткость, если допускаемый прогиб [v] = (1/250)∙ℓ, где ℓ – длина пролета. Модуль упругости материала Е = 2∙10⁵ МПа.

(Данные в скобках – для студентов строительных специаль-ностей).

v

г

в

б

a

В

А

Рисунок 5.8 – Расчетная схема балки и эпюры Q_y, М_x, v

 

Решение: определяем реакции опор балки из уравнений равновесия статики:

Проверка:

Пользуясь методом сечений, построим эпюры поперечных сил Q_y и изгибающих моментов М_x. Разбивку балки на участки I, II, III, IV производим слева направо.

Составляем аналитические выражения поперечных сил по участкам:

Производим вычисления:

 

Эпюра Q_y построена на рис. 5.8, б.

Составляем аналитические выражения изгибающих моментов:

В результате вычислений находим:

 

 

По полученным данным строим эпюру М_x (рис. 5.8, в). Наибольшее значение изгибающего момента (М_x = 24,8 кНм) возникает в сечении балки у опоры В слева.

Из условия прочности:

определим необходимое значение момента сопротивления W_x поперечного сечения:

 

Ближайшими номерами двутавра по ГОСТ 8239-72 являются № 18 (W_x = 143 см³, J_x = 1290 см⁴) и № 18а (W_x = 159 см³, J_x = 1430 см⁴).

Проверим двутавр № 18, вычислив для него наибольшее напряжение:

Перенапряжение составляет:

что недопустимо, так как оно не должно превышать 5 %.

Поэтому принимаем двутавр № 18а, в котором

Недонапряжение составляет 2,5 %.

Наибольшее значение поперечной силы возникает в сечении у опоры А справа:

Определим наибольшие касательные напряжения в этом сечении по формуле Журавского:

где – значение статического момента отсеченной части площади поперечного сечения относительно нейтральной оси x, соответствующее точке сечения, в которой определяются касательные напряжения; b – ширина поперечного сечения в этой точке.

Для двутавра опасная по касательным напряжениям точка находится на нейтральной оси x, поэтому в этой точке есть статический момент половины площади сечения относительно оси x. Его значения приведены в таблицах вышеуказанного стандарта. Для двутавра № 18а = 89,8 см³, b = 0,51 см.

Следовательно,

Условие прочности по касательным напряжениям: τ_max ≤ [τ], где согласно заданию [τ] = 100 МПа, удовлетворено.

Балки из тонкостенных прокатных профилей следует проверять также на прочность по главным напряжениям, с применением теорий прочности, в сечениях, в которых изгибающий момент и поперечная сила одновременно достигают больших значений. В данном примере таким сечением является сечение левее точки С (М_x = 20,8 кНм и
Q_y = 25 кН).

Однако, поскольку соответствующий учебный материал изучается во второй части курса, ограничимся лишь сделанным замечанием, цель которого – обратить внимание студента на необходимость проведения полной проверки прочности балок в указанном случае. Примеры расчетов изложены в [4].

Построение упругой линии балки выполним с помощью универсального уравнения упругой линии (5.8).

При начале координат на левом конце балки (см. рис. 5.8) имеем:

Начальные параметры j ₀ и y₀ определим из граничных условий:

Упрощая систему уравнений, получим:

откуда

Для данной балки жесткость сечения при изгибе

Поэтому

Учитывая найденные значения j ₀ и y₀, составляем универсальное уравнение в окончательном виде:

Путем дифференцирования функции y(z) получаем уравнение углов поворота поперечных сечений:

Пользуясь составленными уравнениями, вычисляем прогибы и углы поворота ряда сечений. Результаты вычислений сводим в таб-
лицу 5.2.

 

Таблица 5.2 – Прогибы и углы поворота поперечных сечений балки (рис. 5.8)

Абсцисса сечения z, м		0,4	0,8	1,2	1,6	2,0	2,3	2,6
Прогиб y, мм	1,126		–1,235	–1,969	–1,622		1,643	3,220
Угол поворота сечения, рад	–2,704× ×10-3	–3,058× ×10-3	–2,77× ×10-3	–6,34× ×10-4	2,415× ×10-3	5,744× ×10-3	5,303× ×10-3	5,240× ×10-3

 

По полученным данным в принятом масштабе строим эпюру прогибов (см. рис. 5.8, г).

На кривой y(z) имеются точки перегиба при значениях абсциссы z, при которых M_х = 0, что следует из формулы (5.3).

Наибольший прогиб возникает в правом концевом сечении балки:

 

v_max = 3,22 мм.

 

Допускаемое значение прогиба согласно заданию составляет:

 

[v] = (1/250)∙1,6 = 6,4∙10^–3 = 6,4 мм.

Таким образом, условие жесткости v _max ≤ [ v ] удовлетворено.

Примечания:

1. При оформлении расчетной работы следует привести подробный расчет численных значений прогибов и углов поворота сечений, включенных в таблицу 5.2.

2. Студентам строительных специальностей при выполнении
пп.1 и 2 задания пользоваться методом предельных состояний.