Операторы. Линейные операторы. Матрица оператора. Базис.

 

Линейные операторы.

Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y. Говорят, что оператор действует из X в Y.

Действие оператора обозначают y = A (x), y — образ x, x — прообраз y.

Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из X, y = A (x), оператор называют взаимно однозначным отображением X в Y или преобразованием X, X — область определения оператора.

Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор A, действующий из X в Y, называется линейным оператором, если для любых двух элементов u и v из X и любого числа α справедливо:

A (u + v) = A (u) + A (v), A (α·u) = α· A (u).

Множество векторов y линейного пространства Y, для каждого из которых существует такой вектор x из линейного пространства X, что y = A (x) называется образом оператора A:

Im(A) = {y | y = A (x), x∈ X }, Im(A) ⊆ Y.

Образ линейного оператора — линейное подпространство пространства Y. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора: rank A = dim (Im A); rank A = rang A = rg A = Rg A.

Матрица оператора.

Линейный оператор A действует из n -мерного линейного пространства X в m -мерное линейное пространство Y.

В этих пространствах определены базисы e = {e ₁,..., e _n } и f = {f ₁,..., f _m }.

Пусть A (e _i) = a _{1 i} ·f ₁ + a _{2 i} ·f ₂ +...+ a _{m i} ·f _m — разложение образа i -го базисного вектора базиса e пространства X по базису f пространства Y, i = 1, 2,..., n.

Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f, A = { a _{i j} } = { A (e _j) _i }:

Координаты образа y = A (x) и прообраза x связаны соотношеннием:

y = A · x,

Базис линейного пространства.

Система векторов линейного пространства L образует базис в L если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор из L линейно выражается через векторы системы.

Иными словами, линейно независимая упорядоченная система векторов e ₁,..., e _n
образует базис в L если любой вектор x из L может быть представлен в виде

x = С₁· e ₁+С₂ ·e ₂+...+С _n · e _n.

Можно определить базис иначе.

Любая упорядоченная линейно независимая система e ₁,..., e _n векторов n- мерного линейного пространства L_n образует базис этого пространства.

Поскольку n, размерность пространства L_n — максимальное количество линейно независимых векторов пространства, то система векторов x, e ₁,..., e _n линейно зависима и, следовательно, вектор x линейно выражается через векторы e ₁,..., e _n:

x = x ₁· e ₁+ x ₂ ·e ₂+...+ x_n · e _n.

Такое разложение вектора по базису единственно.