Метрические пространства. Метрика. Примеры. Сжатые отображения.

 

Метрическое пространство.

 

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Метрическое пространство есть пара , где — множество (подлежащее множество метрического пространства, множество точек метрического пространства), а — числовая функция (метрика пространства), которая определена на декартовом произведении и принимает значения в множестве вещественных чисел — такая, что для точек

1. (аксиома тождества).
2. (аксиома симметрии).
3. (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

Прим.: Из аксиом следует неотрицательность функции расстояния, поскольку

Сжатые отображения.

Сжатые отображения одно из основных положений теории метрических пространств о существовании и единственности неподвижной точки множества при некотором специальном («сжимающем») отображении его в себя. С. о. п. применяют главным образом в теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Произвольное отображение А метрического пространства М в себя, которое каждой точке х из М сопоставляет некоторую точку у = Ax из М, порождает в пространстве М уравнение

Ax = х. (*)

Действие отображения А на точку х можно интерпретировать как перемещение её в точку у = Ax. Точка х называется неподвижной точкой отображения А, если выполняется равенство (*). Т. о. вопрос о разрешимости уравнения (*) является вопросом о нахождении неподвижных точек отображения А.

Отображение А метрического пространства М в себя называется сжатым, если существует такое положительное число a < 1, что для любых точек х и у из М выполняется неравенство

d (Ax, Ау) £ a d (х, у),

где символ d (u, u) означает расстояние между точками u и u метрического пространства М.

С. о. п. утверждает, что каждое сжатое отображение полного метрического пространства в себя имеет, и притом только одну, неподвижную точку. Кроме того, для любой начальной точки x₀ из М последовательность { x_n }, определяемая рекуррентными соотношениями

x_n = Ax_n-1, n = 1,2,...,

имеет своим пределом неподвижную точку х отображения А. При этом справедлива следующая оценка погрешности:

.

С. о. п. позволяет единым методом доказывать важные теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных, интегральных и др. уравнений. В условиях применимости С. о. п. решение может быть с наперёд заданной точностью вычислено последовательных приближений методом.

С помощью определённого выбора полного метрического пространства М и построения отображения А эти задачи сводят предварительно к уравнению (*), а затем находят условия, при которых отображение А оказывается сжатым.

Примеры.

• Дискретная метрика: , если , и во всех остальных случаях.
• Вещественные числа с функцией расстояния и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.

• Пусть — пространство непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства в метрическое пространство . Расстояние между двумя отображениями и из этого пространства определяется как

Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве .

В частном случае, когда — компактное пространство, — числовая прямая, получается пространство всех непрерывных функций на пространстве X с метрикой равномерной сходимости.

• Пусть , , — пространства функций на отрезке , соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:

Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)

• В пространстве k раз непрерывно дифференцируемых функций метрика вводится по формуле:

где — метрика равномерной сходимости на (см. выше).

• Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния

.

• Конечномерные пространства такого типа называются пространством Минковского;
• в случае если размерность равна двум то плоскостью Минковского.

• Любое связное риманово многообразие можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.
• Множество вершин любого связного графа можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому рёбру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую.
• Частным случаем предыдущего примера является так называемая французская железнодорожная метрика — пример, который нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.
• Множество компактных подмножеств любого метрического пространства можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

• Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.