Интегрирование неправильных рациональных дробей

Всякую неправильную рациональную дробь можно путем деления числителя на знаменатель представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби , то есть

.

а) если дробь неправильная, то ее нужно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби;

б) разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей;

в) проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Рассмотрим примеры.

2.6.5 Корни знаменателя действительные и различные

Пример 22. Найти интеграл .

Решение. Дробь под знаком интеграла правильная, так как степень числителя меньше степени многочлена.

а) Разложим знаменатель на простые множители

.

Найдем корни квадратного трехчлена по теореме Виета:

Тогда .

б) Подынтегральную функцию представим в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами

.

Правую часть приведем к общему знаменателю

.

Так как две дроби равны и равны их знаменатели, то будут тождественно равны и числители

. (6)

Для нахождения неопределенных коэффициентов применим метод отдельных значений аргумента: аргументу придают конкретные значения столько раз, сколько неопределенных коэффициентов. Обычно берут за значения действительных корней знаменателя. Пусть . Подставим это значение в левую и правую части тождества (6), получим

.

Пусть .

,

отсюда

.

Пусть .

,

отсюда

.

в) Таким образом, интеграл может быть представлен в виде суммы трех простейших интегралов

.

2.6.6 Корни знаменателя действительные, среди них есть кратные

Пример 23. Найти интеграл .

Решение.

а) Разложим знаменатель на простые множители. Методом подбора можно установить, что один корень равен 1, тогда многочлен делится без остатка на . Разделим

Имеем

.

б) Подынтегральная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами

.

Правую часть приведем к общему знаменателю, получим

.

Приравняем числители, получим тождество

.

Пусть , тогда

, .

Пусть , тогда

, .

Так как действительных корней больше нет, то примем для любое значение. Пусть , тогда

.

В данное равенство подставим известные значения и , найдем : , , .

в) Таким образом,

2.6.7 Корни знаменателя комплексные и различные

Пример 24. Найти интеграл .

Решение. Под знаком интеграла правильная рациональная дробь, так как степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя.

Квадратный трехчлен не имеет действительных корней, так как дискриминант . Оба множителя знаменателя не имеют действительных корней, то есть корни знаменателя комплексные, поэтому подынтегральная функция может быть представлена в виде суммы двух простейших дробей

.

Приведем правую часть к общему знаменателю, получим равенство двух дробей

.

Данные дроби равны, если тождественно равны их числители

.

Раскроем в правой части скобки и сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями:

.

Два многочлена тождественно равны, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений:

Решим систему методом Гаусса, для этого выпишем расширенную матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов и сведем ее к ступенчатому виду:

.

Первую строку умножим на и сложим с третьей строкой, вторую строку умножим на и сложим с четвертой строкой, получим матрицу

.

Третью строку умножим на 8 и сложим с четвертой строкой, получим матрицу

.

Четвертую строку разделим на 17, получим матрицу

.

Запишем систему уравнений для полученной матрицы:

Таким образом, интеграл может быть представлен в виде суммы двух интегралов:

2.6.8 Среди комплексных корней знаменателя есть кратные

Пример 25. Найти интеграл .

Решение. Дробь, стоящая под знаком интеграла правильная, так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. Знаменатель дроби имеет комплексные корни, причем среди них есть кратные.

Поэтому подынтегральная функция может быть представлена в виде суммы трех простейших дробей:

.

Приводя правую часть к общему знаменателю, получим равенство двух дробей

Приравняем числители дробей, получим тождество:

Раскроем скобки и приведем подобные:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений:

Решим систему уравнений методом Гаусса:

.

Первую строку матрицы умножим на (-5) и сложим с третьей строкой, вторую строку умножим на (-5) и сложим с четвертой строкой, первую строку умножим на (-4) и сложим с пятой строкой, вторую строку умножим на (-4) и сложим с шестой строкой, получим следующую матрицу:

.

Третью строку матрицы умножим на (-4) и сложим с пятой строкой, четвертую строку умножим на (-4) и сложим с шестой строкой, получим матрицу:

.

Запишем систему уравнений, соответствующую данной матрице:

Таким образом, интеграл можно представить в виде суммы трех интегралов:

Четвертый интеграл возьмем по рекуррентной формуле (1)

 

2.6.9 Общий случай

Пример 26. Найти интеграл .

Решение.

а) Рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, неправильная, так как степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе.

Выделим ее целую часть путем деления числителя на знаменатель:

Дробь можно представить в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби:

.

б) Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей:

.

Квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

в) Правую часть приведем к общему знаменателю, тогда получим

.

Данные дроби будут равны, если тождественно равны их числители:

.

Преобразуем:

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :

Итак, имеем

.

г) Интегрируем полученное равенство:

Любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.