Понятие неопределенного интеграла. В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции найти ее производную

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции найти ее производную. Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию , зная ее производную.

Определение 1. Функция называется первообразной функции на интервале , если для любого выполняется равенство

.

Например, первообразной функции является функция , так как .

Очевидно, что , где – постоянное слагаемое, также является первообразной функции , так как .

Теорема 1. Если функция является первообразной функции на , то множество всех первообразных для задается формулой , где – постоянное число.

Определение 2. Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .

Таким образом, по определению

.

Здесь – подынтегральная функция,

– подынтегральное выражение,

– переменная интегрирования,

– знак неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельных кривых . График первообразной называется интегральной кривой (см. рисунок 1).

Рисунок 1 – Интегральные кривые

Всякая непрерывная на функция имеет на этом промежутке неопределенный интеграл.

Результат интегрирования проверяется дифференцированием.