Интегрирование иррациональных функций

2.8.1 Интеграл вида , где – рациональная функция

Подынтегральная функция с помощью подстановки , , где – наименьший общий знаменатель дробей преобразуется в рациональную функцию от .

Пример 36. Найти интеграл .

Решение. Сделаем подстановку , где 6 – наименьший общий знаменатель дробей , ; найдем . Тогда

.

Под знаком интеграла – неправильная рациональная дробь. Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть и представим дробь в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби:

Итак, .

Тогда

2.8.2 Интеграл вида

Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где – наименьший общий знаменатель дробей . Из данного равенства следует выразить и найти .

Пример 37. Найти интеграл .

Решение. Сделаем подстановку . Выразим из данного равенства :

, ,

, .

Найдем :

Подставим в интеграл и получим

К данному интегралу применяем метод интегрирования по частям: , тогда

Вернемся к старой переменной

2.8.3 Интегралы вида

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

В данных интегралах используют тригонометрические подстановки.

а) ,

, ,

.

Пример 38. Найти интеграл .

Решение. Сделаем подстановку , , , получим

б) ,

, , , .

Пример 39. Найти интеграл .

Решение. Сделаем подстановку , , , . Тогда

.

в) ,

, , , .

Пример 40. Найти интеграл .

Решение. Сделаем подстановку , , , , получим

г) . В результате выделения полного квадрата в подкоренном выражении, приходим к одному из интегралов вида а)-в) в данном пункте.

Пример 41. Найти интеграл .

Решение. Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:

.

Сделаем подстановку , тогда , , тогда:

Для нахождения первого интеграла используем метод подведения под знак дифференциала: , тогда . Для нахождения второго интеграла используем тригонометрическую подстановку: , ,

Вернемся к старой переменной: , тогда

2.8.4 Интегралы вида

В данных интегралах делается подстановка , отсюда , .

Пример 42. Найти интеграл .

Решение. Пусть , , . Тогда

2.8.5 Интегралы вида , где – многочлен степени

Данный интеграл можно найти, пользуясь формулой:

, (10)

где – многочлен степени с неопределенными коэффициентами, – также неопределенный коэффициент.

Для нахождения неопределенных коэффициентов дифференцируют обе части равенства (10), получают

.

Умножают обе части данного равенства на , получают

.

Далее следует приравнять коэффициенты при одинаковых степенях . Таким образом, находят многочлен и .

Пример 43. Найти интеграл .

Решение. Пусть

. (11)

Продифференцируем левую и правую части данного равенства

Используем свойства интеграла и правила дифференцирования, получим

Умножим обе части равенства на

,

преобразуем

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях

Найденные коэффициенты подставим в равенство (11), тогда

2.8.6 Интегрирование дифференциального бинома , где , – действительные числа, , , – рациональные числа

Для нахождения данного интеграла используют подстановки Чебышева П.А.:

а) если – целое число, то применяют подстановку , где – наименьший общий знаменатель дробей , ,

б) если – целое число, то вводят подстановку , где – знаменатель дроби ,

в) если – целое число, то используют подстановку , где – знаменатель дроби .

В других случаях интегралы данного вида не выражаются через элементарные функции.

Пример 44. Найти интеграл .

Решение. В данном интеграле , , , – целое число, следовательно, имеем случай б).

Подстановка . Отсюда ,

.

Тогда

 

2.9 Интегралы, «неберущиеся» через элементарные функции

Всякая непрерывная функция имеет первообразную. Если первообразная является элементарной функцией, то говорят, что выражается через элементарные функции. Если интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что он «не берется». К таковым относятся следующие интегралы:

– интеграл Пуассона (теория вероятностей),

, – интегралы Френеля (физика),

– интеграл логарифма (теория чисел),

, – интегральные синус и косинус,

– интегральная показательная функция.

Эти интегралы имеют большое значение в приложениях, для них составлены таблицы значений для различных значений аргумента .