Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций.

2.7.1 Интегралы вида

Для нахождения таких интегралов используют следующие приемы.

а) Если хотя бы одно из чисел и – нечетное целое положительное число, пусть, например , то делают подстановку , тогда . Выражение под знаком интеграла преобразуют так:

В итоге получается

то есть получен интеграл от степенной функции.

Пример 27. Найти интеграл .

Решение.

– нечетная степень, используем подстановку

б) Если , то делают подстановку , тогда . Выражение под знаком интеграла преобразуют аналогично предыдущему случаю:

Пример 28. Найти интеграл .

Решение.

– нечетная степень, используем подстановку

а) , – целые неотрицательные четные числа. В этом случае используют формулы понижения степени

, , .

Пример 29. Найти интеграл .

Решение.

– четные положительные целые числа, используем формулы понижения степени

В первом интеграле у функции степень четная, используем формулы понижения степени . Во втором интеграле используем метод подведения под знак дифференциала:

б) – четное отрицательное целое число, тогда используют подстановку , а . При данной подстановке

, , , .

В некоторых случаях удобнее сделать подстановку

, .

 

Пример 30. Найти интеграл .

Решение.

– четное отрицательное целое число. Используем подстановку ,

.

2.7.2 Интегралы вида и , где , – рациональные функции

В первом случае делают подстановку , . Во втором – , а , тогда .

Пример 31. Найти интеграл .

Решение.

, тогда

Получим интеграл от рациональной функции

2.7.3 Интегралы вида

Здесь – рациональная функция от синуса и косинуса. Для нахождения данного интеграла используют универсальную тригонометрическую подстановку: , тогда , , , .

В результате данной подстановки получают интеграл от рациональной функции от переменной :

.

Данную подстановку рекомендуется применять, если и входят в функцию в нечетной степени.

Пример 32. Найти интеграл .

Решение. Применяя подстановку , получим

В знаменателе выделим полный квадрат:

.

На практике универсальная подстановка иногда приводит к слишком сложным рациональным функциям, поэтому, если функция – четная относительно синуса и косинуса, то удобнее применить подстановку , , , , .

Пример 33. Найти интеграл .

Решение. Функция является четной относительно синуса и косинуса, то есть

Применим подстановку , получим

В знаменателе выделим полный квадрат:

2.7.4 Интегралы вида

В данном случае применяют подстановку , , .

Пример 34. Найти интеграл .

Решение. Применим к данному интегралу подстановку , получим . Под знаком интеграла имеем неправильную рациональную дробь . Выделим целую часть путем деления числителя на знаменатель:

Подынтегральную функцию можно представить в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби , а данный интеграл в виде суммы трех интегралов:

2.7.5 Интегралы вида , ,

Подынтегральные функции в данных интегралах преобразуются с помощью тригонометрических формул:

, (7)

, (8)

. (9)

Пример 35. Найти интеграл .

Решение. Применим к подынтегральной функции формулу (9), получим