Интегрирование по частям

Пусть и – дифференцируемые функции. Известно, что дифференциал произведения вычисляется по формуле: . Проинтегрируем данное равенство . Используя свойства интеграла, будем иметь , отсюда

.

Данная формула называется формулой интегрирования по частям. Эта формула применяется чаще всего к интегрированию выражений, которые можно представить в виде произведения двух сомножителей и , причем за принимают такой множитель, от которого можно найти интеграл.

Основные виды интегралов, которые берутся по частям: – многочлен степени (см. таблицу 2).

Таблица 2

I
II
III		В данных интегралах за можно принять любую функцию. Интегрируют два раза и приводят подобные интегралы.
IV
V

Пример 10. Найти интеграл .

Решение.

тогда

,

Пример11. Найти интеграл .

Решение.

, , тогда ,

Пример12. Найти интеграл .

Решение.

тогда ,

Получили интеграл такого же вида. Еще раз необходимо применить интегрирование по частям: , , тогда

,

Получили интеграл первоначального вида. Преобразуем

.

Из данного равенства выразим искомый интеграл

,

отсюда

.

Интегралы такого вида называются круговыми.

Пример 13. Найти интеграл .

Решение.

тогда ,

Пример 14. Найти интеграл .

Решение.

тогда ,

.

Некоторые другие виды интегралов также можно находить интегрированием по частям.

С помощью формулы интегрирования по частям можно найти интеграл вида . Рассмотрим данный интеграл

Разобьем на два интеграла Первый интеграл оставим без изменений, а во втором интеграле , , тогда ,

Преобразуем

В результате применения метода интегрирования по частям, получили интеграл, в котором подынтегральная функция имеет степень, меньшую на единицу, чем в исходном интеграле:

. (1)

Данная формула называется рекуррентной формулой. Ее применяют до тех пор, пока не получат табличный интеграл вида .

Пример 15. Найти интеграл .

Решение. Применим к данному интегралу рекуррентную формулу: , .

Еще раз применим рекуррентную формулу: