Интегрирование по частям. Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то имеет место формула

Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то имеет место формула

.

Пример 47. Вычислить интеграл .

Решение.

Применим метод интегрирования по частям: , тогда

Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах

Пусть функция непрерывна на отрезке , симметричном относительно точки .

Докажем, что, если функция нечетная, то есть , то

.

Разобьем отрезок на две части: и . Тогда по свойству аддитивности интеграла запишем

(13)

Применим к первому интегралу подстановку , тогда , если , то и если , то . Тогда

.

Используя свойство определенного интеграла , перепишем интеграл в виде:

и подставим в равенство (13), получим

поскольку определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, то .

Пусть функция четная на . Докажем, что – .

Запишем интеграл в виде суммы двух интегралов

.

К первому интегралу применим подстановку , тогда , если , то и если , то ; – для четной функции.

,

подставляем в равенство (12):

.

 

Несобственные интегралы

Определенные интегралы от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенные интегралы с конечным промежутком интегрирования, но от неограниченной функции, называются несобственными интегралами.