Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (первого рода)

Определение 9. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке . Тогда существует определенный интеграл . При изменении интеграл изменяется, он является непрерывной функцией . Предел этого интеграла при называется несобственным интегралом первого рода от функции на промежутке :

.

Если этот предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то называется расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке

.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется так:

,

где – произвольное число.

Данный интеграл сходится, если сходятся оба интеграла в правой части. Если хотя бы один из интегралов в правой части равенства расходится, то и расходится.

Если непрерывная функция на промежутке и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной линиями , и осью абсцисс (рисунок 5).

Рисунок 5 – Геометрическая иллюстрация несобственного интеграла первого рода

Пример 48. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение. Имеем

при

см. рисунок 6 .

Рисунок 6 –График функции

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно .

Пример 49. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение.

то есть расходится.

Пример 50. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение.

Но при не стремится ни к какому пределу, совершая колебания от -1 к 1, а поэтому не существует и расходится.

Пример 51. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение. Пусть , тогда

.

Таким образом, – расходится.

Пусть , тогда

так как , то при , а ,

то есть при сходится и равен .

Пусть , тогда

так как , то , а , тогда при ,

то есть при расходится.

Итак, имеем

Этот интеграл часто используется в признаке сравнения в качестве эталонного.

Пример 52. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение.

при , при (см. рисунок 6) .

Итак, сходится и равен .

Не всегда удается выяснить сходимость несобственных интегралов с помощью определения, поэтому используют признаки сравнения.

Теорема 10. Если функции и непрерывны на промежутке и удовлетворяют условию , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Теорема 11. Если функции и непрерывны и положительны (, ) на промежутке , и существует предел , причем , то интегралы и одновременно сходятся или расходятся.

Пример 53. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .

Решение. Рассмотрим функции и .

Данные функции непрерывны на промежутке и удовлетворяют условию , то есть , так как . Интеграл (см. пример 51) сходится и равен , следовательно, по теореме 10 сходится и интеграл и его значение меньше 5.

Пример 54. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .

Решение. Рассмотрим функции и . Данные функции непрерывны и положительны на промежутке . Найдем предел их отношения:

разделим и числитель и знаменатель на при .

Так как и сходится, то сходится и исходный интеграл .

Если функция меняет знак в бесконечном интервале , то имеет место следующая теорема.

Теорема 12. Если интеграл сходится, то сходится и интеграл .

Последний интеграл называется абсолютно сходящимся.