Правильные рациональные дроби
I) II) III) IV) Определение 6. Дроби вида I-IV называются простейшими рациональными дробями. Квадратный трехчлен Интегрирование простейших дробей вида I-IV не составляет большой трудности. I). II).
III).
IV).
Интеграл Пример 19. Найти интеграл Решение.
Пример 20. Найти интеграл Решение.
Пример 21. Найти интеграл Решение.
Теорема 8. Всякую правильную рациональную дробь
можно представить и притом единственным образом в виде суммы простейших дробей:
где 1) Линейным множителям 2) Квадратным множителям 3) Число простейших дробей, соответствующих линейному или квадратному множителю
|
; (2)
; (3)
; (4)
. (5)
не имеет действительных корней.
.
. В числителе выделим производную квадратного трехчлена и преобразуем числитель:
, так как квадратный трехчлен не имеет действительных корней 
.
, тогда 
Во втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе 
. Введем новую переменную 
.
берем по рекуррентной формуле (1).
.
.
.
.
, тогда 
ко второму интегралу применим рекуррентную формулу 
, знаменатель которой разложен на множители
,
, 
, …, 
, 
, …, 
, 
, …, 
, 
, … – некоторые действительные коэффициенты.
будут соответствовать простейшие дроби I-II видов.
