Правильные рациональные дроби

I) ; (2)

II) ; (3)

III) ; (4)

IV) . (5)

Определение 6. Дроби вида I-IV называются простейшими рациональными дробями. Квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Интегрирование простейших дробей вида I-IV не составляет большой трудности.

I). .

II).

III). . В числителе выделим производную квадратного трехчлена и преобразуем числитель:

, так как квадратный трехчлен не имеет действительных корней

.

IV). В числителе выделим производную квадратного трехчлена , тогда

Во втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе

. Введем новую переменную , обозначим

.

Интеграл берем по рекуррентной формуле (1).

Пример 19. Найти интеграл .

Решение.

.

Пример 20. Найти интеграл .

Решение.

Пример 21. Найти интеграл .

Решение.

В числителе выделим производную квадратного трехчлена , тогда

ко второму интегралу применим рекуррентную формулу

Теорема 8. Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители

,

можно представить и притом единственным образом в виде суммы простейших дробей:

где , , …, , , …, , , …, , , … – некоторые действительные коэффициенты.

1) Линейным множителям будут соответствовать простейшие дроби I-II видов.

2) Квадратным множителям будут соответствовать простейшие дроби III-IV видов.

3) Число простейших дробей, соответствующих линейному или квадратному множителю , равно степени, в которой этот множитель входит в разложение .