Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции приводится к табличному интегралу, называется непосредственным интегрированием.

Пример 4. Найти интеграл .

Решение.

числитель почленно разделим на знаменатель и запишем данный интеграл в виде разности двух интегралов

.

Сделаем проверку, для чего найдем производную от функции

.

Получили подынтегральную функцию, следовательно, интеграл нашли правильно.

Пример 5. Найти интеграл .

Решение.

.

 

Метод подведения под знак дифференциала

Если подынтегральное выражение содержит некоторую функцию и ее производную, то в этом случае используют метод подведения под знак дифференциала:

.

При сведении интеграла к табличному используют следующие преобразования:

, b – число,

,

,

.

Например, .

Пример 6. Найти интеграл .

Решение. Заметим, что дифференциал от функции, стоящей под знаком корня, имеет вид . В подынтегральном выражении есть , то есть это . Тогда получим

Пример 7. Найти интеграл .

Решение. Заметим, что в подынтегральном выражении есть функция и ее производная . Тогда выражение является дифференциалом функции , то есть . Используя метод подведения под знак дифференциала, найдем интеграл

.