Вычисление площади плоской фигуры

Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой , снизу отрезком оси , справа и слева прямыми и (рисунок 8), находится по формуле

.

Рисунок 8 – Криволинейная трапеция	Рисунок 9 – Фигура, ограниченная линиями , ,

Если криволинейная трапеция расположена ниже оси , то есть (рисунок 9), то площадь может быть найдена по формуле

.

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и ( для любого ), прямыми и (рисунок 10), можно найти по формуле

.

Рисунок 10 – Фигура, ограниченная линиями , , и	Рисунок 11 – Криволинейная трапеция, расположенная относительно оси

Если криволинейная трапеция ограничена справа непрерывной кривой , слева отрезком оси , снизу и сверху прямыми и (рисунок 11), то ее площадь находится по формуле

.

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями

,

то ее площадь находится по формуле

.

Пример 60. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , , (рисунок 12).

Рисунок 12 – Криволинейная трапеция

Решение. Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями, воспользуемся формулой :

(кв.ед.)

Пример 61. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и (рисунок 13).

Рисунок 13 – Изображение плоской фигуры, ограниченной линиями и

Решение. Найдем точки пересечения данных кривых

Таким образом, точки пересечения и .

Фигура, ограниченная параболами и , симметрична относительно оси , поэтому достаточно вычислить половину площади данной фигуры и полученный результат умножить на 2. Для нахождения площади воспользуемся формулой :

(кв.ед.).

Пример 62. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом , (рисунок 14).

Рисунок 14 – Эллипс

Решение. Найдем площадь области и полученный результат умножим на 4.

Воспользуемся формулой . Так как изменяется от 0 до , то изменяется от до , тогда

(кв.ед.).