Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является двойной интеграл.

Пусть в замкнутой области плоскости задана положительная непрерывная функция .

Определение: Часть пространства, ограниченная снизу замкнутой областью , сверху поверхностью , с боков цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси , а направляющий служит контур области , называется цилиндрическим телом.

Найдем объем данного цилиндрического тела.

Разобьем область на элементарных областей , площадь которых обозначим через , а диаметры

Рисунок 1 – Плоская область

 

В каждой области выберем произвольную точку , найдем значение функции в этой точке .

Рассмотрим цилиндрические столбики с основанием , ограниченные сверху кусками поверхности .

Рисунок 2

 

В своей совокупности они составляют тело . Объем цилиндрического столбика приближенно равен , а объем цилиндрического тела:

. (1)

Эта сумма называется интегральной суммой функции в области .

Равенство (1) тем точнее, чем больше и чем меньше размеры элементарных областей . Если неограниченно возрастает, то за объем цилиндрического тела можно будет принять предел интегральной суммы:

Определение: Если существует , то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается , т.е. .

где - интегрируемая функция в области ,

- область интегрирования,

и - переменные интегрирования,

или - элемент площади.

Для всякой ли функции существует двойной интеграл?

Теорема 1 (достаточное условие интегрируемости функции). Если функция непрерывна в замкнутой области , то она интегрируема в этой области.

Величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

Если при любых , то - площадь области .

Рассмотрим задачу на нахождение массы плоской пластинки. Пусть требуется найти массу плоской пластинки , зная ее поверхностную плотность . Функция - непрерывна в каждой точке области .

Разобьем пластинку на элементарных частей с площадями . В каждой области возьмем произвольную точку и вычислим в ней плотность . Если в области достаточно малы, то плотность можно считать постоянной и равной , а массу данной области .

Тогда масса всей пластинки будет приближенно равна

.

Точное значение массы пластинки получим при условии, что :

или .

Итак, двойной интеграл от функции численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию считать плотностью этой пластинки в точке . В этом состоит физический смысл двойного интеграла.