Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

 

В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Пусть областью интегрирования является тело, ограниченное снизу поверхностью , сверху - поверхностью , причем , - непрерывные функции в замкнутой области и .

- проекция тела на плоскость .

Область называется правильной в направлении оси , если любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках.

Рисунок 11

 

Тогда, если непрерывна в области , то имеет место формула

.

При этом сначала вычисляется интеграл по переменной при постоянных и , а затем двойной интеграл. Нижней границей является аппликата точки входа в область , верхней границей аппликата точки - точка выхода прямой из области .

Результатом вычисления есть функция двух переменных и .

Если область ограничена линиями , , , и , где и - непрерывные на отрезке функции, причем

Рисунок 12

 

, то переходя от двойного интеграла по области к повторному, получим формулу:

.

Порядок интегрирования может быть изменен.

Пример 8. Вычислить , где - ограничена плоскостями , , , .

Решение.

Рисунок 13

 

Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах.

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто применяются метод подстановки: , , . Если данные функции имеют непрерывные частные производные и отличный от нуля определитель

,

то справедлива формула замены переменных в тройном интеграле:

.

- якобиан преобразования.