Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги)

 

Пусть на плоскости задана непрерывная кривая (или ) длины . В каждой точке дуги определена непрерывная функция . Разобьем кривую точками , , , …, на произвольных дуг с длинами . На каждой дуге выберем произвольную точку и составим интегральную сумму для функции по кривой .

(1)

 

 

Пусть - наибольшая из длин дуг.

Определение 1. Если при () существует конечный предел интегральных сумм (1), то его называют криволинейным интегралом от функции по длине дуги кривой
(или I рода) и обозначают или , т.е.

(2)

Теорема 2 (условие существования криволинейного интеграла I рода). Если функция непрерывна в каждой точке гладкой кривой, то криволинейный интеграл I рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.

Аналогично вводится понятие криволинейного интеграла по пространственной кривой.

Основные свойства.

1. Криволинейный интеграл не зависит от направления пути интегрирования.

.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

, .

3. .

4. , .

5. Если для всех точек кривой , то

.

6. - длина дуги .

7. Теорема о среднем.

Если функция непрерывна на кривой , то найдется такая точка , что

.

Вычисление криволинейного интеграла I рода.

Вычисление криволинейного интеграла I рода сводится к вычислению определенного интеграла.

1. Кривая задана в прямоугольной системе координат уравнением , , - непрерывно дифференцируемая функция.

Дифференциал дуги кривой , тогда

(3)

Пример 11. Вычислить , где - парабола , .

Решение.

1) Найдем :

;

2) Найдем :

.

3) Вычислим интеграл:

.

2. Кривая задана параметрическими уравнениями , , где и - непрерывно дифференцируемые функции.

Дифференциал дуги кривой , тогда

(4)

Аналогично для пространственной кривой , , :

(5)

Пример 12. Вычислить вдоль кривой , если .

Решение.

1) Найдем и :

,

.

2) Найдем :

.

3) Вычислим

.

3. Кривая задана в полярной системе координат уравнением

, .

Дифференциал дуги кривой , тогда

(6) Пример 13. Вычислить , где - лепесток лемнискаты , расположенный в I четверти.

 

Решение.

1) Найдем :

.

2) Найдем :

.

.

3) Вычислим.

Приложения криволинейного интеграла I рода.

1. Длина дуги кривой

(7)

2. Площадь цилиндрической поверхности

Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая , лежащая в плоскости , а образующая параллельна оси , то площадь данной поверхности, задаваемой функцией , находится по формуле

(8)

3. Масса кривой

Пусть определяет плотность кривой в каждой ее точке , тогда

,

а масса всей кривой

,

точнее значение массы получим, если перейдем к пределу при :

(9)

4. Статические моменты, центр тяжести дуги кривой

, , , .

5. Моменты инерции

, , .