Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где функция непрерывна в области . Как известно, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела. Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений:

, где - площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси , а , - уравнение плоскостей, ограничивающих данное тело.

Пусть область представляет криволинейную трапецию, ограниченную прямыми и , кривыми и , причем функции и непрерывны и для . Область правильная в направлении оси .

Рисунок 4

 

Постоим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси : , где .

Рисунок 5 – Цилиндрическое тело

 

В сечении получим криволинейную трапецию , ограниченную линиями , где , , и .

Площадь данной трапеции находим с помощью определенного интеграла

.

Согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

.

Объем цилиндрического тела можно вычислить с помощью двойного интеграла . Следовательно,

.

Данное равенство можно записать в идее:

(2)

Правую часть формулы (2) называют двукратным или повторным интегралом от функции по области .

Интеграл называют внутренним интегралом.

При вычислении двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая постоянным, а затем внешний интеграл, результат внутреннего интеграла интегрируем по переменной в пределах от до .

Если область ограничена прямыми и , кривыми и , причем для всех , т.е. область - параллельная в направлении оси , то

(3)

В данном случае, при вычислении внутреннего интеграла, считаем постоянным.

Нужно помнить, что пределы внешнего интеграла всегда постоянны.

Пример 1. Вычислить , где область ограничена линиями , , .

Решение. Изобразим область интегрирования

 

Рисунок 6 – Область

 

Найдем точку пересечения кривых и :

.

Тогда и . Нашей области принадлежит точка .

Для вычисления данного интеграла воспользуемся формулой (3), т.е. спроектируем область на ось в отрезок , тогда и .

При вычислении данного интеграла по формуле (2) нужно область разбить прямой на две область и , тогда .

Область проектируется на ось в отрезок , а область - в отрезок .

Получили тот же результат.

Если область является правильной, т.е. всякая прямая параллельная любой оси координат, пересекает границу области не более чем в двух точках, то

,

т.е. двойной интеграл не зависит от порядка интегрирования.

 

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое интегральная сумма для функции по области ?

2. Что называется двойным интегралом от функции по области ?

3. Геометрический смысл двойного интеграла.

4. Физический смысл двойного интеграла.

5. Какая область называется правильной в направлении оси , а какая – в направлении оси .

6. Как вычислить двойной интеграл в декартовых координатах?

7. Как изменить порядок интегрирования в двойном интеграла?