Приложение двойного интеграла.

 

1. Объем тела. Объем цилиндрического тела находится по формуле

,

где - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

2. Площадь плоской фигуры. Если подынтегральная функция , то получим формулу для вычисления площади плоской области :

.

В полярных координатах

.

2^’. Вычисление площади поверхности.

1. Если гладкая поверхность задана уравнением , то площадь поверхности выражается формулой

,

где - проекция данной поверхности на плоскость .

2. Если гладкая поверхность задана уравнением , то

,

где - проекция данной поверхности на плоскость .

3. Масса плоской пластинки

.

4. Статические моменты и координаты центра тяжести плоской пластинки.

Статические моменты относительно осей координат:

, .

Координаты центра тяжести

, .

5. Моменты инерции плоской фигуры.

Моментом инерции материальной точки массы называется произведение массы на квадрат распределения точки до оси:

.

Моменты инерции плоской фигуры относительно осей и могут быть вычислены по формулам:

,

.

Момент инерции относительно начала координат:

.

Пример 4. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , , , .

Решение. Изобразим тело, объем которого нужно вычислить.

Рисунок 9

Найдем объем тела по формуле

:

(ед. куб.).

Пример 5. Найти площадь пластинки, ограниченной линиями , .

Решение. Изобразим область :

Рисунок 10

 

Найдем точки пересечения кривых:

и .

Область проектируется на ось в отрезок .

Площадь вычислим по формуле :

(кв. ед.).

Пример 6. Вычислить площадь части поверхности , вырезанной цилиндром и расположенной в I октанте.

Пример 7. Найти координаты центра тяжести плоской пластинки, ограниченной линиями , , , .

 

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое Якобиан перехода и чему он равен в полярных координатах?

2. Выражение двойного интеграла в полярных координатах.

3. Как вычислить объем цилиндрического тела?

4. Как вычислить площадь плоской пластинки?

5. Как найти площадь поверхности?

6. Как вычислить массу пластинки?

7. Как найти координаты центра тяжести пластинки?

8. Как найти моменты инерции плоской фигуры относительно осей и ?