Задание. 2. Вычислить , где - внутренность треугольника с вершинами ,

2. Вычислить , где - внутренность треугольника с вершинами , , .

2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле .

Литература

1. Н.С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисления» ч.2., гл. XIV, § 1 – 3.

2. П.Е. Данко «Высшая математика в упражнениях и задачах» ч.2., гл. I, § 1.

п 4. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

 

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки, т.е. вводят новые переменные под знак двойного интеграла.

Пусть , , причем данные функции имеют непрерывные частные производные первого порядка в области плоскости и отличный от нуля определитель

(4)

Функция непрерывна в области . Тогда справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:

(5)

Определитель называется определителем Якоби (немецкий математик) или Якобианом.

Чаще всего при вычислении двойного интеграла переходят к полярным координатам , .

Вычислим Якобиан перехода к полярным координатам

.

Тогда

, (6)

где - область интегрирование в полярной системе координат.

Рисунок 7 – Область

 

 

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведение его к двукратному интегралу.

Пусть область ограничена лучами и , кривыми и . Если луч, выходящий из полюса пересекает границу области не более чем в двух точках, то область - правильная.

. (7)

При вычислении внутреннего интеграла считаем постоянным.

Замечание. Переход к полярным координатам полезен тогда, когда область интегрирования есть круг или его часть и когда подынтегральная функция содержит выражение .

Пример 2. Вычислить двойной интеграл , если область ограничена полуокружностью и осью .

Решение.

1. Изобразим область

Рисунок 8 – Область

 

2. Перейдем к полярным координатам , , .

3. Найдем пределы интегрирования: , .

4. Вычислим интеграл

Пример 3. Вычислить , если область ограничена окружностью .