Несобственные интегралы от неограниченной функции (второго рода)

При рассмотрении определенного интеграла предполагалось, что подынтегральная функция является ограниченной на . В том случае, когда функция не является ограниченной, задача интегрирования формулируется иначе.

Определение 10. Пусть функция определена и непрерывна в , и стремится к бесконечности при . Составим интеграл

.

Предел этого интеграла при называется несобственным интегралом второго рода (или интегралом от неограниченной функции) на интервале :

.

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл сходится. Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Если , то несобственный интеграл второго рода (разрыв в точке ) равен площади бесконечно высокой криволинейной трапеции (рисунок 7).

 

Рисунок 7 – Геометрическая иллюстрация несобственного интеграла второго рода

Если функция имеет бесконечный разрыв в точке , то

.

Если функция имеет разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода имеет вид:

.

Интеграл сходится, если оба несобственных интеграла и сходятся.

Пример 55. Вычислить интеграл или доказать его расходимость .

Решение. Подынтегральная функция не определена в точке . По определению несобственного интеграла второго рода имеем

Так как существует конечный предел, то данный интеграл сходится и равен 2, то есть .

Пример 56. Вычислить интеграл или доказать его расходимость .

Решение. Функция на отрезке не определена в точке . По определению имеем

если , то .

Следовательно, расходится.

Пример 57. Вычислить интеграл или доказать его расходимость .

Решение. Функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка . Поэтому данный интеграл представим в виде суммы двух несобственных интегралов

то есть сходится.

Аналогично можно показать, что интегралы , , сходятся при и расходятся при .

Данные интегралы используются в признаке сравнения в качестве эталонных.

Не всегда удается выяснить сходимость несобственных интегралов второго рода с помощью определения, поэтому используют признаки сравнения.

Теорема 13. Если на промежутке функции и непрерывны и удовлетворяют условию , а при терпят бесконечный разрыв, то:

1) из сходимости интеграла следует сходимость интеграла ;

2) из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Теорема 14. Если функции и непрерывны на промежутке , в точке терпят бесконечный разрыв, и существует предел , , то интегралы и одновременно сходятся или расходятся.

Пример 58. Вычислить интеграл или доказать его расходимость .

Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке . При функции и удовлетворяют условию , а интеграл

–

сходится, значит и исходный интеграл сходится.

Пример 59. Вычислить интеграл или доказать его расходимость .

Решение. Функция имеет разрыв в точке . Рассмотрим функцию , которая также терпит разрыв в точке . Интеграл , то есть интеграл расходится. Найдем предел

,

то есть , значит и исходный интеграл – расходится.