Элементы теории корреляции

Важнейшая задача экономических исследований – установление объективно существующих связей между явлениями. В самом простом случае исследуется взаимодействие двух факторов. Например, объема продукции предприятия и численности работников; прибыли и стоимости производственных фондов и т. д.

Для обнаружения зависимости между величинами используются таблицы, графики и метод корреляции.

Таблицы могут состоять из двух строк:

 

Х
Y

 

(например, значения товарооборота Y за шесть истекших лет, Х – год)

или быть двумерными (состоять из m строк и n столбцов):

 

XХ	Y
	9 4 1 - - - 1 10 9 - - - - 2 6 14 6 - - - 2 8 7 - - - 1 10 18 6

 

(например, Х – количество удобрений на 100 га, Y – урожайность, ц/га; на пересечении строки и столбца указано количество хозяйств, в которых при указанном количестве удобрений получен соответствующий урожай).

Две случайные величины могут быть связаны между собой функциональной, либо другого рода зависимостью, называемой статистической, либо быть независимыми. Строгая функциональная зависимость, когда каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, на практике реализуется редко, т. к. обе случайные величины подвержены еще воздействию многих случайных факторов. В этом случае между случайными величинами существует статистическая зависимость, при которой изменение одной величины влечет за собой изменение распределения другой.

Например, Х – уровень квалификации рабочего, Y – его выработка за смену. Ясно, что зависимость Y от Х не функциональная, а стохастическая: на выработку помимо квалификации влияет множество других факторов.

Частным случаем статистической зависимости двух случайных величин X и Y является корреляционная зависимость Y от X, представляющая собой функциональную зависимость условной средней от х.

Условной средней называется среднее арифметическое значений Y, соответствующих данному значению Х = х. Например, пусть значению случайной величины Х = 10 соответствуют три различных значения случайной величины Y: y₁=10, y₂=12, y₃=14. Тогда условная средняя равна

.

Пример 12. Построить уравнение линейной регрессии Y на X на основании данных, приведенных в корреляционной таблице:

Y	Х	ny
				-
				-
	-
nx

Решение. Уравнение регрессии можно записать в виде

где – коэффициент корреляции.

На основании данных составляем вспомогательную расчетную таблицу:

 

х	х2	nх	nхх	nхх2		у	у2	nу	nуу	nуу2
						∑
	∑

Находим необходимые величины:

Следовательно,

 

Вычислим коэффициент корреляции:

Запишем уравнение регрессии Y на Х:

После упрощения приходим к уравнению