Теория вероятностей

1.1. В городе 8 фирм, половина из которых пытается уйти от налогов. Для аудиторской проверки наугад выбирают 4 фирмы. Какова вероятность, что среди проверяемых фирм пытаются уйти от налогов: а) только две фирмы; б) не менее двух; в) более двух; г) хотя бы одна.

1.2. Из шестнадцати работников малого предприятия пятеро опоздали на работу. Найти вероятность, что из выбранных наугад четырех сотрудников опоздавших оказалось: а) трое; б) не более трех; в) более трех; г) хотя бы один.

1.3. В магазине продаются 10 компьютеров, из которых три имеют скрытые дефекты. Какова вероятность, что среди четырех купленных компьютеров скрытые дефекты имеют: а) только два компьютера; б) не более двух; в) менее двух; г) хотя бы один.

1.4. В партии из 12 изделий 10 – высшего качества. Найти вероятность, что из наудачу отобранных трех изделий высшее качество имеют: а) два изделия; б) менее двух; в) не более двух; г) хотя бы два.

1.5. Из 9 руководителей отделов предприятий семеро имеют высшее экономическое образование. Какова вероятность, что среди пяти руководителей, случайным образом отобранных для повышения квалификации, имеют высшее экономическое образование: а) четверо; б) не менее трех; в) не более трех; г) хотя бы двое.

1.6. Предприятие направило для учебы в вузе 12 человек, из них 5 человек – на дневной факультет и 7 человек – на заочный. Случайным образом отбираются анкеты шести студентов. Найти вероятность, что среди них анкет студентов-заочников: а) только четыре; б) не менее четырех; в) более четырех; г) хотя бы одна.

1.7. Среди 20 контрольных работ 5 выполнено на «отлично». Найти вероятность того, из выбранных наугад трех работ выполнены на «отлично»: а) две работы; б) менее двух; в) не менее двух; г) хотя бы одна.

1.8. Среди десяти хоккеистов шесть человек имеют звание «мастер спорта». Найти вероятность, что в наудачу выбранной «пятерке» игроков будет: а) четыре мастера спорта; б) менее четырех; в) не менее четырех; г) хотя бы два мастера спорта.

1.9. В городе 8 предприятий, из которых 5 – частных. Для проведения аудиторской проверки наудачу выбирают 4 предприятия. Какова вероятность, что среди них: а) три частных; б) менее двух; в) хотя бы одно.

1.10. Ежесуточно на сортировочную станцию в среднем прибывает 30 поездов, из них 20 – разборочные. За два часа на станцию прибыло 6 поездов. Определить вероятность того, что среди них разборочных: а) ровно три; б) ни одного; в) более трех; г) хотя бы один.

1.11. В городе 8 фирм, половина из которых пытается уйти от налогов. Для аудиторской проверки наугад выбирают 4 фирмы. Какова вероятность, что среди проверяемых фирм пытаются уйти от налогов: а) только три фирмы; б) менее трех; в) не более трех; г) хотя бы одна.

1.12. Из 15 работников малого предприятия четверо опоздали на работу. Найти вероятность, что из выбранных наугад 5 сотрудников опоздавших оказалось: а) трое; б) более трех; в) не более трех; г) хотя бы один.

1.13. В магазине продаются 12 компьютеров, из которых три имеют скрытые дефекты. Какова вероятность, что среди пяти купленных компьютеров скрытые дефекты имеют: а) только два компьютера; б) более двух; в) не менее двух; г) хотя бы один.

1.14. В партии из 10 изделий 8 – высшего качества. Найти вероятность, что из наудачу отобранных пяти изделий высшее качество имеют: а) четыре изделия; б) менее четырех; в) не менее четырех; г) хотя бы два.

1.15. Из 8 руководителей отделов предприятий шестеро имеют высшее экономическое образование. Какова вероятность, что среди пяти руководителей, случайным образом отобранных для повышения квалификации, имеют высшее экономическое образование: а) четверо; б) менее четырех; в) не менее четырех; г) хотя бы двое.

1.16. Предприятие направило для учебы в вузе 11 человек, из них 4 человека – на дневной факультет и 7 человек – на заочный. Случайным образом отбираются анкеты пяти студентов. Найти вероятность, что среди них анкет студентов-заочников: а) только четыре; б) менее четырех; в) не менее четырех; г) хотя бы две.

1.17. В группе 10 юношей и 6 девушек. Для дежурства на вечере путем жеребьевки выделяют пять человек. Какова вероятность того, что в число дежурных войдут: а) пять юношей; б) два юноши и три девушки; в) более двух девушек; г) хотя бы одна девушка.

1.18. Преподаватель математики подготовил 15 задач по теории вероятностей и 10 задач по матстатистике. Чтобы получить зачет, студент должен решить три задачи. Задачи случайным образом выбирает компьютер. Какова вероятность того, что среди выбранных задач: а) две по теории вероятностей; б) не менее двух по теории вероятностей; в) хотя бы одна по матстатистике.

1.19. Из 10 книг, среди которых 6 справочников, отобраны 4 книги. Найти вероятность того, что среди них окажется справочников: а) ровно три; б) менее трех; в) не менее трех; г) хотя бы одна.

1.20. Ежесуточно на сортировочную станцию в среднем прибывает 12 поездов, из них 10 – разборочные. За два часа на станцию прибыло 5 поездов. Определить вероятность того, что среди них разборочных: а) ровно три; б) ни одного; в) менее трех; г) хотя бы один.

1.21. Из десяти проданных за день холодильников 3 имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что среди выбранных наудачу пяти холодильников окажется без скрытых дефектов: а) ровно два; б) более трех; в) не менее двух; г) хотя бы один.

1.22. Фирма предлагает в продажу со склада партию из 10 компьютеров, 4 из которых – с дефектами. Покупатель приобретает 5 из них, не зная о возможных дефектах. Найти вероятность того, что среди купленных компьютеров окажется без дефектов: а) ровно четыре; б) более трех; в) не менее двух; г) хотя бы один.

1.23. В городе 8 предприятий, из которых 5 – частных. Для проведения аудиторской проверки наудачу выбирают 3 предприятия. Какова вероятность, что среди них частных: а) ровно два; б) менее двух; в) не менее двух; г) хотя бы одно.

1.24. Из 20 участников международной конференции английский язык знают 15. Найти вероятность того, что среди наудачу отобранных пяти участников английский язык знают: а) четверо; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы один.

2.1. Четыре фирмы участвуют в проекте. Риск разорения каждой фирмы равен 10, 12, 15, 18 % соответственно. Какова вероятность того, что в результате проекта наудачу выбранная фирма разорится? В результате проекта одна фирма разорилась; какова вероятность, что это фирма с наибольшим риском?

2.2. В группе спортсменов – 20 лыжников, 6 велосипедистов; 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму равна для лыжника 0,9, для велосипедиста – 0,8, для бегуна – 0,75. Найти вероятность, что взятый наудачу спортсмен выполнил норму. Какова вероятность, что спортсмен, выполнивший норму, оказался лыжником?

2.3. Даны 3 одинаковых урны. В первой – 3 белых и 4 черных шаров; во второй – 5 белых и 7 черных шаров; в третьей – 3 белых и 2 черных шара. Наудачу выбирается урна и наудачу извлекается шар. Какова вероятность того, что выбранный шар будет черным? Какова вероятность, что шар, оказавшийся черным, взят из первой урны?

2.4. В цехе работают 20 станков. Из них десять станков – марки А, шесть – марки В и четыре – марки С. Вероятности того, что качество деталей окажется отличным, для этих станков соответственно равны: 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность, что наудачу взятая деталь окажется отличной? Найти вероятность, что взятая отличная деталь выполнена на станке марки В.

2.5. С первого станка на сборку поступает 40 %, со второго – 25 %, с третьего – 35 % всех деталей. Вероятность брака для каждого станка равна 0,01; 0,03; 0,05. Найти вероятность, что наудачу поступившая на сборку деталь бракована. Какова вероятность того, что эта деталь с первого станка?

2.6. Стрелок А поражает мишень с вероятностью 0,6, стрелок Б – с вероятностью 0,5, стрелок В – с вероятностью 0,4. Стрелки дали залп по мишени. Какова вероятность того, что произошло одно попадание? Попадание произошло; найти вероятность, что попал стрелок А.

2.7. Из контейнера, содержащего одинаковое число деталей четырех предприятий, взяли на проверку одну деталь. Какова вероятность обнаружения бракованной продукции, если продукция первого и второго предприятий содержит 1/5 бракованных деталей, а продукция остальных предприятий доброкачественна? Найти вероятность, что деталь, оказавшаяся бракованной, сделана на первом предприятии.

2.8. В цехе два станка производят одинаковые детали. Мощность первого станка в 1,5 раза превышает мощность второго. Первый станок дает в среднем 8% брака, а второй – 5%. Найти вероятность того, что произвольно взятая для сборки деталь окажется годной. Какова вероятность, что деталь, оказавшаяся годной, произведена на первом станке?

2.9. Перед посевом 95 % всех семян было обработано ядохимикатами. Вероятность поражения вредителями для растений из обработанных семян равна 0,09, для растений из необработанных семян – 0,3. Какова вероятность, что взятое наудачу растение оказалось пораженным? Какова вероятность того, что оно взято из партии обработанных семян?

2.10. В тире имеется четыре различных по точности боя винтовок. Вероятность попадания в мишень из каждой винтовки для данного стрелка соответственно равна 0,75, 0,55, 0,8 и 0,9. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из наудачу выбранной винтовки? Попадание произошло; чему равна вероятность того, что была выбрана первая винтовка?

2.11. В районе 24 человека обучаются на заочном факультете института, из них шесть – на мехфаке, двенадцать – на агрофаке и шесть – на экономфаке. Вероятность успешно сдать все экзамены на предстоящей сессии для студентов мехфака равна 0,6; агрофака – 0,76 и экономфака – 0,8. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент успешно сдаст все экзамены. Какова вероятность, что студент, сдавший успешно все экзамены, является студентом экономфака?

2.12. Запасная деталь может находиться в одной из трех партий с вероятностями p₁ = 0,2, p₂ = 0,3, p₃ = 0,5. Вероятности того, что деталь проработает положенное время без ремонта, равны соответственно 0,9; 0,8 и 0,7. Определить вероятность того, что: а) взятая наудачу деталь проработает положенное время; б) деталь, проработавшая положенное время, взята из второй или третьей партии.

2.13. Перед посевом 90 % всех семян было обработано ядохимикатами. Вероятность поражения вредителями для растений из обработанных семян равна 0,08, для растений из необработанных семян – 0,4. Какова вероятность, что взятое наудачу растение оказалось пораженным? Какова вероятность того, что оно взято из партии обработанных семян?

2.14. В первой бригаде производится в три раза больше продукции, чем во второй. Вероятность того, что производимая продукция окажется стандартной для первой бригады, равна 0,7; для второй – 0,8. Определить вероятность того, что взятая наугад единица продукции будет стандартной. Взятая наугад единица продукции оказалась стандартной; какова вероятность, что она из второй бригады?

2.15. Для посева заготовлены семена 4 сортов пшеницы. Причем 20 % всех семян – 1-го сорта, 30 % – 2-го сорта, 10 % – 3-го сорта и 40 % – 4-го сорта. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 40 зерен, для первого сорта равна 0,5; для второго – 0,3; для третьего – 0,2; для четвертого – 0,1. Найти вероятность того, что наудачу взятое зерно даст колос, содержащий не менее 40 зерен. Если это произошло, определить вероятность, что зерно было 1-го сорта.

2.16. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04; а в период экономического кризиса – 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит? Если клиент не вернул кредит, какова вероятность, что наступил период кризиса?

2.17. Предприятия L, M, N производят соответственно 25, 30 и 45 % деталей одного наименования. Доля брака для них составляет соответственно 1, 2 и 3 %. Какова вероятность того, что взятое наугад изделие оказалось бракованным? Найти вероятность того, что изделие, оказавшееся бракованным, сделано на предприятии L.

2.18. Покупатель с равной вероятностью посещает каждый из трех магазинов. Вероятность того, что покупатель купит товар в первом магазине, равна 0,4, во втором – 0,6 и в третьем – 0,8. Найти вероятность того, что покупатель купит товар в каком-то магазине. Покупатель купил товар; какова вероятность того, что он купил его в первом магазине?

2.19. Товарная партия содержит 20 % изделий, изготовленных заводом I, 30 % – заводом II, 50 % – заводом III. Для завода I вероятность выпуска бракованного изделия равна 0,05; для завода II – 0,01; для завода III – 0,06. Чему равна вероятность того, что наудачу выбранное из партии изделие окажется бракованным? Если известно, что выбранное изделие оказалось бракованным, какова вероятность того, что оно было изготовлено заводом I?

2.20. Два предприятия выпускают однотипные изделия. Причем второе выпускает 55 % изделий обоих предприятий. Вероятность выпуска нестандартного изделия первым предприятием равна 0,1; вторым – 0,15. Определить вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется нестандартным. Взятое изделие оказалось нестандартным; какова вероятность, что оно выпущено на втором предприятии?

2.21. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,06, а на втором – 0,9. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь нестандартна. Взятая деталь оказалась нестандартной; какова вероятность, что она с первого автомата?

2.22. Предприятия L, M, N производят соответственно 23, 35 и 42 % деталей одного наименования. Доля брака для них составляет соответственно 2, 3 и 1 %. Какова вероятность того, что взятое наугад изделие оказалось бракованным? Найти вероятность того, что изделие, оказавшееся бракованным, сделано на предприятии М.

2.23. В городе три фирмы. Нарушения бухгалтерской отчетности в каждой из фирм составляют соответственно 1, 2, 3 %. Для аудиторской проверки наугад выбирается одна фирма. Какова вероятность, что в результате проверки обнаружатся нарушения? Нарушение обнаружено; какова вероятность, что оно сделано на первой фирме?

2.24. В трех корзинах находится картофель. В первой – 8 % поврежденных клубней, во второй – 10 %, в третьей – 15 %. Из наудачу выбранной корзины берут один клубень. Какова вероятность, что он поврежден? Если взятый клубень поврежден, найти вероятность, что он из второй корзины.

3.1. Торговый агент в среднем контактирует с восемью потенциальными покупателями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершит покупку, равна 0,1. Чему равна для агента: а) вероятность двух продаж в течение одного дня; б) вероятность хотя бы двух продаж в течение дня; в) вероятность того, что в течение одного дня не будет продаж?

3.2. Численность работников предприятия составляет 500 человек. Вероятность невыхода на работу из-за болезни равна 0,01 для каждого работника предприятия. Определить вероятность того, что в ближайший день не выйдут на работу: а) пять человек; б) не более трех человек; в) хотя бы один из работников.

3.3. Всхожесть семян составляет 80 %. Какова вероятность того, что из 1 000 посеянных семян взойдут: а) 900; б) от 650 до 760?

3.4. В автопарке имеется 400 автомобилей. Вероятность безотказной работы каждого из них равна 0,9. Найти вероятность, что в определенный момент времени 360 автомобилей работают безотказно. С вероятностью 0,95 определить границы, в которых будет находиться доля безотказно работающих машин.

3.5. Страхуется 2 000 автомобилей. Считается, что вероятность аварии 0,007. Найти вероятность того, что среди всех застрахованных автомобилей произойдет: а) 15 аварий; б) не более 150 аварий.

3.6. Известно, что при контроле бракуется 10 % изделий. На контроль отобрано 625 изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных изделий: а) 550 стандартных; б) не менее 550 и не более 575 стандартных?

3.7. Статистика аудиторских проверок компании показывает, что вероятность обнаружения ошибки в каждом проверяемом документе равна 0,1. Какова вероятность, что из 10 проверенных документовбольшинствоне будет содержать ошибки?

3.8. Контрольную работу по теории вероятностей успешно выполняют в среднем 60 % студентов. Какова вероятность того, что из 200 студентов работу успешно выполнят: а) 120 студентов; б) не менее 100 студентов; в) не более 150 студентов?

3.9. Вероятность того, что дилер продаст ценную бумагу, равна 0,6. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы с вероятностью 0,99 можно было надеяться, что доля проданных бумаг отклоняется от 0,6 не более чем на 0,05?

3.10. Доля населения региона, занятого в промышленности, равна 0,4. В каких пределах с вероятностью 0,95 находится число занятых в промышленности среди 10 000 случайно отобранных людей?

3.11. Известно, что 80% специалистов в районе имеет высшее образование. Найти вероятность того, что из 100 наудачу отобранных человек высшее образование имеет: а) не менее 70; б) от 65 до 90 человек?

3.12. Какова вероятность того, что из 2450 ламп, освещающих улицу, к концу года будет гореть от 1500 до 1600 ламп? Считать, что каждая лампа будет гореть в течение года с вероятностью 0,64.

3.13. Агрегат имеет четыре двигателя и работает, если функционируют по крайней мере два из них. Вероятность выйти из строя первому двигателю – 0,01, второму – 0,02, третьему – 0,03 и четвертому – 0,04. Какова вероятность выйти из строя агрегату?

3.14. В тире имеются четыре ружья. Вероятность попадания стрелком в цель для каждого из этих ружей равна 0,6, 0,7, 0,75 и 0,8. Стрелок берет наугад ружье и дважды стреляет в цель. Какова вероятность поражения цели?

3.15. Вероятность выплавки стабильного сплава равна 0,8. Произведено 625 плавок. Найти наивероятнейшее число стабильных сплавов и вероятность этого числа. Какова вероятность того, что относительная частота выплавки стабильного сплава отклонится от его вероятности не более, чем на 0,04?

3.16. Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5 %. Контролер проверяет 1 000 изделий. Составить закон распределения случайной величины Х – числа обнаруженных бракованных деталей (ограничиться четырьмя значениями); найти математическое ожидание и дисперсию; определить вероятность того, что хотя бы одно изделие окажется бракованным.

3.17. Корректура в 500 страниц содержит 1300 опечаток. Найти наиболее вероятное число опечаток на одной странице текста и вероятность этого числа.

3.18. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,02. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 625 пассажиров и вероятность этого события.

3.19. На факультете насчитывается 500 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно для 5 студентов?

3.20. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двумя и более выстрелами при залпе в 5000 выстрелов.

3.21. Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за одну минуту, равно двум. Найти вероятность, что за три минуты прибудут: а) два самолета; б) менее двух самолетов; в) не менее двух самолетов. Предполагается, что поток самолетов – простейший.

3.22. Среднее число заявок, поступающих на предприятие бытового обслуживания за один час, равно трем. Найти вероятность, что за 2 ч. поступит: а) четыре заявки: б) менее трех заявок: в) не менее трех заявок. Предполагается, что поток заявок – простейший

3.23. Некоторое электронное устройство выходит из строя, если откажет определенная микросхема. Вероятность отказа в течение 1 ч работы устройства равна 0,004. Найти вероятность того, что за 100 ч работы устройства придется менять микросхему а) пять раз; б) менее пяти раз; в) не менее пяти раз.

3.24. Производители калькуляторов знают из опыта, что 1% проданных калькуляторов имеют дефекты. Аудиторская фирма купила 500 калькуляторов. Какова вероятность того, что придется заменить: а) 4 калькулятора; б) как минимум два?

4.1. Из 10 книг, среди которых 6 справочников, отобраны 3. Составить закон распределения и найти числовые характеристики случайной величины Х – числа справочников среди отобранных книг. Построить функцию распределения и ее график.

4.2. Для того чтобы проверить точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами аудиторов. Предположим, что служащие компании при обработке входящих счетов допускают ошибки с вероятностью 0,1. Аудитор случайно отбирает 3 входящих документа. Составить закон распределения случайной величины Y – числа ошибок, выявленных аудитором; построить функцию распределения и её график; найти числовые характеристики случайной величины Y.

4.3. В зерне, предназначенном для очистки, 10 % сорняков. Составить закон распределения случайной величины Х – числа сорняков среди отобранных наудачу шести зерен; построить функцию распределения и её график; найти числовые характеристики случайной величины Х.

4.4. Численность работников предприятия составляет 500 человек. Вероятность невыхода на работу из-за болезни равна 0,01 для каждого работника предприятия. Составить закон распределения случайной величины Z – числа работников, которые в ближайший день не выйдут на работу (ограничится четырьмя значениями); найти математическое ожидание и дисперсию; определить вероятность того, что в ближайший день не выйдет на работу хотя бы один из работников.

4.5. Отмечено, что в некоторой местности в течение ряда лет в июне 30% дождливых дней. Составить закон распределения случайной величины Х – числа дождливых дней в течение недели июня; построить функцию распределения и её график; найти числовые характеристики случайной величины Х.

4.6. Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии – 0,2; на втором – 0,35; на третьем – 0,15. Акционер имеет акции всех предприятий. Составить закон распределения случайной величины Y – числа предприятий, на которых акционер может получить высокие дивиденды; построить функцию распределения и её график; найти числовые характеристики случайной величины Y.

4.7. Совокупность студентов дневного отделения экономического факультета имеет следующее распределение по результатам оценок, полученных на зимней сессии:

Х
р	0,1	р2	р3	р4

Найти вероятности получения удовлетворительных, хороших и отличных оценок, если известно, что среднее значение оценок в результате сессии составило 3,7; а среднее квадратическое отклонение – 0,9. Построить функцию распределения случайной величины Х и ее график.

4.8. При осмотре составов в парке отправления в каждом из них с вероятностью 0,1 есть вагоны, требующие ремонта. Составить закон распределения случайной величины Х – числа составов, в которых есть такие вагоны, если со станции за сутки отправляется 7 поездов. Построить функцию распределения и её график; найти числовые характеристики случайной величины Х.

4.9. Для рекламы фирма вкладывает в каждую десятую единицу продукции приз в 1 000 руб. Составить закон распределения случайной величины Х – размера выигрыша при пяти сделанных покупках. Построить функцию распределения и её график; найти числовые характеристики случайной величины Х.

4.10. На станции загружаются четыре вагона. Вероятность полного использования грузоподъемности каждого из них 0,5. Составить закон распределения случайной величины Х – числа полногрузных вагонов, отправленных со станции; построить функцию распределения и её график; найти числовые характеристики случайной величины Х.

4.11. Среди пятиключей два подходят к двери. Ключи пробуют одинза другим, пока не откроют дверь. Составить закон распределения случайной величины Х – числа опробованных ключей; построить функцию распределения и её график; найти числовые характеристики случайной величины Х.

4.12. Каждая из пяти лампочек имеет дефект с вероятностью 0,1. дефектная лампочка при включении сразу перегорает и ее заменяют новой. Составить закон распределения случайной величины Х – числа опробованных ламп; построить функцию распределения и её график; найти числовые характеристики случайной величины Х.

4.13. Вероятность того, что предприятие получит полную финансовую самостоятельность в течение данного года, равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х – числа предприятий, получивших полную финансовую самостоятельность из интересующих нас трех; построить функцию распределения и её график; найти числовые характеристики случайной величины Х.

4.14. Фирма предлагает в продажу со склада партию из 10 компьютеров, 4 из которых – с дефектами. Покупатель приобретает 5 из них, не зная о возможных дефектах. Ремонт одной дефектной машины будет стоить 50 долларов. Составить закон распределения случайной величины Х – числа компьютеров с дефектами; построить функцию распределения и ее график; найти математическое ожидание общей средней стоимости ремонта.

4.15. Закон распределения дискретной случайной величины W – доходности предприятия (отношения величины получаемого дохода за период времени к цене акции) имеет вид:

W
р	0,2	0,4	0,3	p4

Найти среднее значение доходности; построить функцию распределения и ее график; найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины W.

4.16. Вероятность получения удачного результата при проведении химического опыта равна 2/5. Составить закон распределения случайной величины Х – числа удачных результатов в пяти опытах; построить функцию распределения и ее график; найти числовые характеристики случайной величины Х. Определить вероятность хотя бы двух положительных результатов.

4.17. Дискретная величина W – доходность предприятия (отношение величины получаемого дохода за период времени к цене акции) может принимать только два значения: x₁ и x₂ (x₁ < x₂). Известны вероятность p₁= 0,1 возможного значения x₁, математическое ожидание M(W) = 3,9 и дисперсия D(W) = 0,09. Найти закон распределения этой случайной величины; построить функцию распределения и ее график.

4.18. Среди деталей, поступающих на конвейер, в среднем 3 % бракованных. Составить закон распределения случайной величины Х – числа бракованных деталей среди поступивших на конвейер пяти деталей; построить функцию распределения и её график; найти числовые характеристики случайной величины Х.

4.19. Каждый из шести компьютеров в Интернет-кафе занят клиентом в среднем 80 % рабочего времени. Составить закон распределения случайной величины Х – числа занятых компьютеров в момент проверки; построить функцию распределения и её график; найти числовые характеристики случайной величины Х.

4.20. Известно, что вероятность «зависания» компьютера в Интернет-кафе равна 0,06. Составить закон распределения случайной величины Y – числа «зависающих» компьютеров среди четырех проверяемых; построить функцию распределения и её график; найти числовые характеристики случайной величины Y.

4.21. Дискретная величина W – доходность предприятия (отношение величины получаемого дохода за период времени к цене акции) может принимать только два значения: x₁ и x₂ (x₁ < x₂). Известны вероятность p₁= 0,3 возможного значения x₁, математическое ожидание M(W) = 3,7 и дисперсия D(W) = 0,21. Найти закон распределения этой случайной величины; построить функцию распределения и ее график.

4.22. Испытуемый прибор состоит из трех элементов, вероятности отказа которых равны соответственно 0,2, 0,3, 0,1. Отказы элементов независимы. Составить закон распределения и найти числовые характеристики случайной величины Х – числа отказавших элементов. Построить функцию распределения и ее график.

4.23. Среди десяти участников конференции английским языком владеют шестеро. Наудачу отобрано четыре участника. Составить закон распределения случайной величины Х – числа участников, владеющих английским языком, среди отобранных; построить функцию распределения и её график; найти числовые характеристики случайной величины Х.

4.24. Нужная студенту книга может находиться в четырех библиотеках с равными вероятностями 0,4. Составить закон распределения и найти числовые характеристики случайной величины Х – числа библиотек, которые посетит студент. Построить функцию распределения и ее график.

5.1.–5.24. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения в определенном интервале, вне этого интервала f(x)=0. Найти число А, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию, и вероятность попадания случайной величины Х на отрезок [а; b]. Построить графики функций F(x) и f(x).

 

5.1.	f(x)=А(4х+5), хÎ[0; 3], a=1, b=2.	5.2.	f(x)=А(х+1), хÎ[0; 3], a=1, b=2.
5.3.	f(x)=А(2х-1), хÎ[1; 2], a=1,5, b=2.	5.4.	f(x)=А(3х2+1), хÎ[0; 2], a=1, b=2.
5.5.	f(x)=А(2х+1), хÎ[0; 2], a=0, b=1.	5.6.	f(x)=А(х-1), хÎ[2; 3], a=2,2, b=2,5.
5.7.	f(x)=А(х+1), хÎ[-1; 2], a=1, b=2.	5.8.	f(x)=А(3х+1), хÎ[0; 3], a=0, b=2.
5.9.	f(x)=А(х2+1), хÎ[0; 2], a=0, b=1.	5.10.	f(x)=А(3х2+1), хÎ[0; 4], a=0, b=3.
5.11.	f(x)=А(х+2), хÎ[-2; 0], a=-1, b=0.	5.12.	f(x)=А(2-х), хÎ[0; 2], a=0, b=1.
5.13.	f(x)=А(х+1), хÎ[-1; 1], a=0, b=1.	5.14.	f(x)=Ах, хÎ[0; 3], a=1, b=2.
5.15.	f(x)=А(х-4), хÎ[4; 6], a=3, b=5.	5.16.	f(x)=А(х-2)2, хÎ[2; 4], a=3, b=3,5.
5.17.	f(x)=А(х+3), хÎ[-3; -1], a=-2, b=-1.	5.18.	f(x)=Ах, хÎ[0; 5], a=3, b=4.
5.19.	f(x)=А(х-1)2, хÎ[1; 3], a=2, b=2,5.	5.20.	f(x)=А(х-2), хÎ[2; 3], a=2,5, b=3.
5.21.	f(x)=А(х-2), хÎ[2; 4], a=3, b=3,5.	5.22.	f(x)=А(х-1)2, хÎ[1; 2], a=1,5, b=2.
5.23.	f(x)=А(2х+1), хÎ[0; 1], a=0,5, b=1.	5.24.	f(x)=Ах2, хÎ[0; 1], a=0,5, b=1.

 

6.1.–6.24. Дана матрица распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины (X,Y). Требуется: а) найти законы распределения составляющих X и Y; б) выяснить, зависимы они или нет; в) вычислить М(X), M(Y), D(X), D(Y) и r_xy.

 

6.1.	Y X         0,34 0,16 0,10   0,12 0,18 0,10	6.2.	Y X         0,12 0,18 0,22   0,13 0,10 0,25
6.3.	Y X         0,17 0,13 0,25   0,10 0,30 0,05	6.4.	Y X         0,13 0,18 0,25   0,12 0,22 0,10
6.5.	Y X         0,13 0,16 0,26   0,10 0,25 0,10	6.6.	Y X         0,12 0,30 0,13   0,10 0,15 0,20
6.7.	Y X         0,10 0,19 0,20   0,16 0,20 0,15	6.8.	Y X         0,10 0,25 0,15   0,12 0,13 0,25
6.9.	Y X         0,25 0,11 0,16   0,13 0,20 0,15	6.10.	Y X -1       0,11 0,25 0,14   0,12 0,20 0,18
6.11.	Y X       -1 0,13 0,25 0,16   0,20 0,16 0,10	6.12.	Y X       0,4 0,13 0,25 0,16 0,8 0,20 0,16 0,10
6.13.	Y X -1       0,11 0,25 0,14   0,12 0,20 0,18	6.14.	Y X         0,15 0,30 0,35   0,05 0,12 0,03
6.15.	Y X         0,12 0,15 0,20   0,25 0,20 0,08	6.16.	Y X         0,17 0,13 0,25   0,10 0,30 0,05
6.17.	Y X         0,12 0,15 0,20   0,13 0,25 0,15	6.18.	Y X -1       1/12 1/2 1/12   1/12 1/6 1/12
6.19.	Y X         0,15 0,25 0,10   0,10 0,10 0,30	6.20.	Y X       -2 0,15 0,25 0,10   0,18 0,10 0,22
6.21.	Y X -1       1/16 1/16 1/8   3/16 3/16 3/8	6.22.	Y X       -2 0,15 0,25 0,10   0,18 0,10 0,22
6.23.	Y X       -2 0,15 0,25 0,10   0,10 0,10 0,30	6.24.	Y X -1     -1 1/16 1/8 1/16   3/16 3/8 3/16

7.1.–7.24. Система непрерывных случайных величин (X,Y) задана плотностью распределения f(x,y)=C в области D, где D – треугольник OAB с вершинами в точках А, В и О(0; 0). Найти: а) константу С; б) функции плотности f₁(x), f₂(y); в) вычислить М_x, М_y; D_x, D_y и r_xy.

 

7.1.А (2, 0), В (0, 1) 7.4.А (-3, 0), В (-3, 1). 7.7.А (4, 0), В (4, 1). 7.10. А (1, 0), В (1, -5). 7.13. А (3, 0), В (3, 5). 7.16. А (-2, 0), В (-2, 2). 7.19. А (-3, 0), В (-3, 3). 7.22. А (3, 0), В (3, 2).

7.2.А (1, 0), В (1, 2). 7.5.А (-3, 0), В (0, 2). 7.8.А (4, 0), В (4, -3). 7.11.А (2, 0), В (2, 5). 7.14. А (1, 0), В (0, 6). 7.17. А (3, 0), В (0, -2). 7.20. А (2, 0), В (0, 5). 7.23. А (-1, 5), В (1, 5).

7.3. А (1, 0), В (0, -3). 7.6. А (2, 0), В (2, -3). 7.9. А (-5, 0), В (0, 1). 7.12. А (5, 0), В (0, -3). 7.15.А (6, 0), В (6, 1). 7.18. А (3, 0), В (0, 4). 7.21. А (0, 5), В (2, 5). 7.24. А (3, 0), В (3, 4).