Метод простой итерации.

Для использования этого метода исходное нелинейное уравнение необходимо привести к виду .

В качестве можно принять функцию ,где M ‑ неизвестная постоянная величина, которая определяется из условия сходимости метода простой итерации . При этом для определения M условие сходимости записывается в следующем виде:

или . (1.5)

Если известно начальное приближение корня , подставляя это значение в правую часть уравнения , получаем новое приближение .

Далее подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение , получаем последовательность значений:

, ,..., , k = 1,2,...,n.

Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т.е. .

Геометрическая интерпретация метода простой итерации. Построим графики функций и . Корнем уравнения является абсцисса пересечения кривой с прямой (рис. 1.9). Взяв в качестве начальной точки , строим ломаную линию. Абсциссы вершин этой ломаной представляют собой последовательные приближения корня . Из рисунка видно, что если на отрезке (рис. 1.9а), то последовательные приближения колеблются около корня. Если же производная (рис. 1.9б), то последовательные приближения сходятся монотонно.

 

а)	б)
Рис. 1.9. Геометрическая интерпретация метода простой итерации.

Пример 1.4. Решить уравнение на отрезке методом простой итерации c точностью .

Решение. Из условия сходимости (1.5) , при определяем .Пусть .

Подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение

,

получаем последовательность значений:

, но , поэтому продолжаем вычисления.

Теперь и приближенным решением данного уравнения c точностью является .

На рис.1.10 приведена программа решения данного уравнения методом простой итерации. В качестве исходных данных вводятся начальное приближение, точность вычисления и значение постоянной М.

 

	Исходные данные	Результаты
	A	B	C	D	E
	x0	e	M	x	F(x)
		0,001		0,683335	0,002416

 

Function F(x) F = x ^ 3 + x - 1 End Function Sub program3() x = Cells(2, 1) e = Cells(2, 2) M = Cells(2, 3) 1 xk = x - F(x) / M If Abs(xk - x) >= e Then x = xk: GoTo 1 Cells(2, 4) = xk Cells(2, 5) = F(xk) End Sub

Рис. 1.10. Программа решения уравнения методом простой итерации на языке VBA.

Пример 1.4. Решить уравнение на отрезке методом простой итерации c точностью с помощью программы Excel.

Порядок решения (рис. 1.11).

1) Ввести в ячейки A1:D1 заголовки столбцов.

2) В ячейку A2 – значение начального приближения

3) В ячейку B3 – формулу функции =A2^3+A2-1

4) В ячейку C2 – значение M 5

5) В ячейку A3 – формулу первого приближения =A2-B3/$C$2

6) В ячейку D3 – погрешность =ABS(A3-A2)

7) Выделить ячейки A3:D3 и скопировать формулы в соседние ячейки расположенных ниже строк A4:D4, A5:D5, и т.д. при помощи маркера заполнения. Каждая новая строка содержит результаты очередного приближения.

8) В столбце A найти значение корня, соответствующее заданной точности.

Приближенное решение данного уравнения содержится в ячейке A9 (погрешность в ячейке D9).

 

	A	B	C	D
	x	f(x)	M	погрешность
	0,8			0,2
	0,7376	0,312		0,0624
	0,70982	0,13889		0,02777881
	0,69633	0,06746		0,01349237
	0,68954	0,03396		0,00679209
	0,68606	0,01738		0,0034769
	0,68427	0,00897		0,00179463
Рис.1.11. Решение уравнения методом простой итерации с помощью программы Excel.