Метод Гаусса.

Этот метод является одним из наиболее распространенных прямых методов решения систем линейных алгебраических уравнений. В основе метода Гаусса лежит идея последовательного исключения неизвестных.

Рассмотрим систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

(2.2)

Система уравнений (2.2) приводится к эквивалентной системе с треугольной матрицей:

(2.3)

Достигается это при помощи цепочки элементарных преобразований, при которых из каждой строки вычитаются некоторые кратные величины расположенных выше строк.

Процесс приведения системы (2.2) к системе (2.3) называется прямым ходом, а нахождение неизвестных , , из системы (2.3) называется обратным ходом.

Прямой ход исключения: Исключаем из уравнений (II) и (III) системы (2.2). Для этого умножаем уравнение (I) на и складываем со вторым, затем умножаем на и складываем с третьим.

В результате получаем следующую систему:

(2.4)

Из полученной системы (2.4) исключаем . Для этого, умножая новое уравнение на и складывая со вторым уравнением, получим уравнение:

(2.5)

Взяв из каждой системы (2.2), (2.4) и (2.5) первые уравнения, получим систему уравнений с треугольной матрицей.

Обратный ход: Из уравнения (III²) находим . Из уравнения (II¢) находим . Из уравнения (I) находим . Коэффициенты , называются ведущими элементами 1-го и 2-го шагов исключения неизвестных. Они должны быть отличны от нуля. Если они равны нулю, то, меняя местами строки, необходимо на их место вывести ненулевые элементы.

Аналогичным путем методом Гаусса решаются системы уравнений с неизвестными.

Пример 2.1. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение: Удалить члены с из 2-го и 3-го уравнений можно, вычитая из 2-й строки 1-ую, умноженную на , а из 3-й - первую, умноженную на :

2-я строка делится на :

2-я строка умножается на и вычитается из 3-й:

3-я строка делится на :

Процедура обратного хода дает решение:

; ;