Основные законы распределения

 

Равномерный закон распределения. Непрерывная случайная величину Х имеет равномерный закон распределения (закон постоянной плотности) на отрезке [a; b], если на этом отрезке функция плотности вероятности f(x) случайной величины X постоянна, т.е. f(x) имеет вид:

Рисунок 1. Равномерный закон распределения

Математическое ожидание равномерного распределения: M(X) = (a + b)/2
Дисперсия равномерного распределения: D(X) = (b - a)²/12
Среднее квадратичное отклонение равномерного распределения: σ(X) = (b - a)/(2√3)

Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами a и σ, если ее плотность вероятности имеет вид:

Известно, что =M(X) и . График нормального распределения имеет куполообразную форму, он симметричен относительно своего математического ожидания, а на степень его островершинности влияет величина среднего квадратичного отклонения.

Рисунок 2. График плотности случайной величины, в случае нормального распределения.

Мода и медиана нормального распределения равны:
Mo(X) = ; Me(X) = , где - математическое ожидание.

Интегральная функция нормального распределения вероятностей:

Интегральная функция распределения вероятностей показывает вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем x: F(x) = P(X < x). Численно она равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу осью абсцисс случайной величины, на интервале от -∞ до x. Ниже дана иллюстрация.

Рисунок 3. Интегральная функция нормального распределения.

 

Показательный (экспоненциальный) закон распределения. Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ >0, если ее плотность вероятности имеет вид:

где λ — постоянная положительная величина.

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

Используя свойство два плотности распределения (Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - до равен единице) можно найти функцию распределения экспоненциального закона:

Рисунок 4. Экспоненциальный закон распределения.

Распределение хи-квадрат. Пусть независимые случайные величины X_i (i = 1, 2,..., n) — распределены по стандартному нормальному закону. Тогда говорят, что сумма квадратов этих величин

распределена по закону χ² («хи квадрат») с n степенями свободы

Плотность распределения случайной величины χ² имеет следующий вид:

Здесь — гамма-функция.

Отсюда видно, что распределение «хи квадрат» определяется одним параметром n —независимым числом степеней свободы.

С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

Рисунок 5. Распределение хи-квадрат.

Основные характеристики распределение хи квадрат (математическое ожидание и дисперсия):

 

Распределение Стьюдента. Случайная величина есть отношение двух независимых случайных величин и , то есть

Распределение случайной величины называется распределением Стьюдента с степенями свободы. Его плотность задаётся формулой

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, подчинённой распределению Стьюдента , есть

 

Как и в случае и хи-квадрат распределением, при увеличении распределение Стьюдента стремиться к нормальному, более того, стандартизованному нормальному (то есть с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией).
Распределение Стьюдента, как хи-квадрат распределение, широко применяется в задачах математической обработки измерений.

Распределение Фишера. Пусть случайная величина равна отношению двух независимых случайных величин и , то есть

Распределение случайной величины называется распределением Фишера с и степенями свободы. Оно имеет следующую плотность вероятности

Математическое ожидание случайной величины, подчинённой распределению Фишера, определяется по формуле

Между случайными величинами, имеющими нормальное распределение: хи-квадрат, Стьюдента и Фишера, имеют место соотношения