Основные законы распределения
Равномерный закон распределения. Непрерывная случайная величину Х имеет равномерный закон распределения (закон постоянной плотности) на отрезке [a; b], если на этом отрезке функция плотности вероятности f(x) случайной величины X постоянна, т.е. f(x) имеет вид: Рисунок 1. Равномерный закон распределения Математическое ожидание равномерного распределения: M(X) = (a + b)/2 Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами a и σ, если ее плотность вероятности имеет вид: Известно, что =M(X) и . График нормального распределения имеет куполообразную форму, он симметричен относительно своего математического ожидания, а на степень его островершинности влияет величина среднего квадратичного отклонения. Рисунок 2. График плотности случайной величины, в случае нормального распределения. Мода и медиана нормального распределения равны: Интегральная функция нормального распределения вероятностей: Интегральная функция распределения вероятностей показывает вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем x: F(x) = P(X < x). Численно она равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу осью абсцисс случайной величины, на интервале от -∞ до x. Ниже дана иллюстрация. Рисунок 3. Интегральная функция нормального распределения.
Показательный (экспоненциальный) закон распределения. Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ >0, если ее плотность вероятности имеет вид: где λ — постоянная положительная величина. Математическое ожидание: . Дисперсия: . Используя свойство два плотности распределения (Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - до равен единице) можно найти функцию распределения экспоненциального закона: Рисунок 4. Экспоненциальный закон распределения. Распределение хи-квадрат. Пусть независимые случайные величины Xi (i = 1, 2,..., n) — распределены по стандартному нормальному закону. Тогда говорят, что сумма квадратов этих величин распределена по закону χ2 («хи квадрат») с n степенями свободы Плотность распределения случайной величины χ2 имеет следующий вид: Здесь — гамма-функция. Отсюда видно, что распределение «хи квадрат» определяется одним параметром n —независимым числом степеней свободы. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному. Рисунок 5. Распределение хи-квадрат. Основные характеристики распределение хи квадрат (математическое ожидание и дисперсия):
Распределение Стьюдента. Случайная величина есть отношение двух независимых случайных величин и , то есть Распределение случайной величины называется распределением Стьюдента с степенями свободы. Его плотность задаётся формулой Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, подчинённой распределению Стьюдента , есть
Как и в случае и хи-квадрат распределением, при увеличении распределение Стьюдента стремиться к нормальному, более того, стандартизованному нормальному (то есть с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией). Распределение Фишера. Пусть случайная величина равна отношению двух независимых случайных величин и , то есть Распределение случайной величины называется распределением Фишера с и степенями свободы. Оно имеет следующую плотность вероятности Математическое ожидание случайной величины, подчинённой распределению Фишера, определяется по формуле Между случайными величинами, имеющими нормальное распределение: хи-квадрат, Стьюдента и Фишера, имеют место соотношения
|