Выборочная дисперсия

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения , вводят сводную характеристику— выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если все значения х₁, х₂,..., х_n признака выборки объема n различны, то

Если же значения признака х₁, х₂,…, х_k имеют соответственно частоты n₁,n₂,…,n_k, причем n₁+n₂+…+n_k = n, то , т. е. выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам.

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой— средним квадратическим отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

Пример 1. Выборочная совокупность задана таблицей распределения

 

Найти выборочную дисперсию.

Решение. Найдем выборочную среднюю:

Найдем выборочную дисперсию:

 

Пример 2: По данной выборке определить выборочные среднее, дисперсию, уточненную дисперсию, среднее квадратическое отклонение (смещенное и уточненное).
3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 7, 2, 5, 6, 7, 1, 7, 2, 7, 8, 9, 1, 9, 8, 7, 8, 1, 1, 2.
Решение:
Представим имеющиеся данные в виде таблицы:

х i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
ni	4	3	1	2	2	2	6	4	2

Выборочная средняя:

Выборочная дисперсия:

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

Исправленная выборочная дисперсия:

Исправленное выборочное среднее квадратичное отклонение: