Ранговый критерий Спирмена

Пусть имеется случайная выборка (X₁,Y₁),…,(X_n,Y_n) генеральной совокупности двумерной непрерывной случайной величины (X, Y) с функцией распределения F(t,τ), a F_X(t) и F_Y(τ) — функции распределения случайных величин X и Y соответственно. Если случайные величины X и У имеют нормальные распределения, то для проверки статистической гипотезы об их независимости H₀: F(t,τ) = F_X(t)F_Y(τ) можно использовать процедуру, связанную с вычислениями выборочного коэффициента корреляции (По формуле: , где - значение точечной оценки коэффициента корреляции).

Если же о распределениях непрерывных случайных величин X и Y ничего не известно, то для проверки основной гипотезы (1) при альтернативной гипотезе Н₁: F(t,τ) ≠ F_X(t)F_Y(τ) для некоторых (t, τ) € R² используют ранговый критерий Спирмена, основанный на следующем понятии.

Пусть задана конечная числовая последовательность (1)

Определение 1. Рангом R_i элемента z_i числовой последовательности (1) называют его порядковый номер в вариационном ряду z₍₁₎,…,z_(N).

Множество результатов измерений {x₁, x₂, …, x_n} величины X называется выборкой объема n. Для того чтобы иметь возможность воспользоваться аппаратом теории вероятностей, целесообразно наблюдаемую величину X рассматривать как случайную величину, функцию распределения которой F(x)=P{X<x}следует определить.

Полученный статистический материал x₁, x₂,...x_n наблюдений представляет собой первичные данные о величине, подлежащей статистической обработке. Обычно такие статистические данные оформляются в виде таблицы, графика, гистограммы и т.д.

Если выборка объема n содержит k различных элементов , причем встречается m_i раз, то число m_i называется частотой элемента , а отношение называется относительной частотой элемента . Очевидно, что

Вариационным (статистическим) рядом называется таблица, первая строка которой содержит в порядке возрастания элементы , а вторая - их частоты m_i (относительные частоты ).

Согласно определению, R_i — это число элементов последовательности z₁,..., z_N, не больших чем z_i, которое можно записать следующим образом:

R_i = 1+ , где ŋ(t) — функция Хевисайда. Ранг любого элемента последовательности (1) — это натуральное число в диапазоне от 1 до N, причем ранг наименьшего элемента последовательности равен 1, а ранг наибольшего — N.

Пример 1. Рассмотрим выборку z₄=(3,8, 4,7, —2,6,17,3). Ее вариационный ряд имеет вид —2,6; 3,8; 4,7; 17,3. Поэтому R₁(z₄) = 2, R₂(z₄) = 3, R₃(z₄) = 1, R₄(z₄) = 4. #

Определение 2. Рангом элемента Z_i случайной выборки Z_N = (Z₁,..., Z_N) называют случайную величину R_i(Z_N), реализация которой R_i(z_N) есть ранг реализации z_i случайной величины Z_i, в вариационном ряду z₍₁₎,…,z_(N).

Обозначим через R_i = R_i(X_n) — ранг элемента Х_i случайной выборки Х_1,..., Х_n, а через S_i = S_i(Y_n) — ранг элемента Y_i случайной выборки Y₁,..., Y_n.

Ранговым коэффициентом корреляции Спирмена назовем случайную величину

 

где

Статистика (2) является выборочным коэффициентом корреляции последовательностей рангов R₁,…,R_n и S₁,…,S_n.

Согласно определению рангов R_i, S_i, i=, и можно показать, что

Без ограничения общности можно считать, что значения пар наблюдений (x_i, y_i), i =, занумерованы в порядке возрастания их первых элементов, т.е. так, что выполняются неравенства x₁<x₂<…<x_n.

В этом случае реализация r_i ранга R_i равна i, i =, и значение статистики можно вычислить по формуле

где — реализация ранга , i =.

Пусть выборочный коэффициент корреляции используется для нахождения линейной зависимости между случайными величинами X и Y. И если же между X и Y имеется функциональная, но не линейная зависимость, то выборочный коэффициент корреляции может быть равен нулю. Аналогично выгладит ситуация с ранговым коэффициентом (2), главным отличием является то, что он выявляет не только линейную, но и любую монотонную зависимость.

Доказательство этого начнем с исследования статистики при линейной зависимости Y = аХ + b, a R, b R, между случайными величинами X и Y.

Если, а > 0, то большим значениям x_i соответствуют большие значения y_i, и, наоборот, меньшим значениям x_i — меньшие значения y_i, . Если пары наблюдений (x_i, y_i), i =, занумерованы по возрастанию первых элементов, то будут иметь место неравенства y₁<y₂<…<y_n. Поэтому r_i = s_i для всех i =, и из (4) следует, что = 1.

Если же, а < 0, то большим значениям x_i соответствуют меньшие значения y_i, а меньшим значениям x_i — большие значения y_i, i =. В этом случае r_i=s_n-i+1, s_i=r_n-i+1, i =, и = -1.

Заметим, что если (х) — возрастающая функция, то ранг элемента x_i в последовательности x₁<x₂<…<x_n равен рангу (х_i) в последовательности (x₁₎< (x₂₎<…< (x_n). Поэтому если случайные величины X и Y связаны функциональной зависимостью Y= (х), то = 1.

Аналогично, если Y = (X), где (х) — убывающая функция, то = -1.

Условие выполняется всегда, так как оно выполняется для выборочного коэффициента корреляции, а— это выборочный коэффициент корреляции, построенный по последовательностям рангов наблюдений.

Рассмотрим теперь другой крайний случай, когда случайные величины X uY независимы, т.е. когда основная гипотеза H₀ является истинной. В этой ситуации случайный вектор (S_i,..., S_n) принимает с равной вероятностью любое свое возможное значение, являющееся одной из n! перестановок, составленной из чисел 1, 2,...,n. Следовательно, вероятность того, что статистика примет любое из своих возможных значений при истинности основной гипотезы (1), не зависит от распределений случайных величин X и Y.

Можно показать, что при истинности основной гипотезы (1)

M = 0, D

и, следовательно, при этом выборочные значения статистики невелики и группируются около нуля. Поэтому (и это кажется достаточно естественным) ранговый критерий Спирмена отклоняет H₀ на уровне значимости α, если где — квантиль уровня 1 —α/2 распределения случайной величины при истинности основной гипотезы (1).

При небольших n это распределение табулировано. Известно, что при n и при истинности основной гипотезы (1)

т.е. квантили случайной величины можно приближенно вычислять при помощи таблиц квантилей стандартного нормального распределения.