Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока

Объемные плотности заряда и тока для случаев типа распределения зарядов по поверхности, линии и других ограниченных областей записываются в виде скалярной и векторной функций, определенных во всем трехмерном пространстве. Свойства дельта-функции и ступенчатой функции и их применение даны в задачнике [1]. Желательно прорешать задачи 80,81,88 и проработать приложения о свойствах указанных обобщенных функций в [1].

Разберем подробно решения двух задач из [1].

149 г): В плоскости ху по бесконечно тонкому кольцу радиуса R течет линейный ток J, образуя правовинтовую систему с осью z, которая проходит через центр кольца. Используя дельта-функцию Дирака определить распределение объемной плотности тока .

Рис.10

 

Решение: Некоторое значение азимутального угла определяет плоскость . Согласно определению понятия силы тока имеем нормировочное условие для искомой объемной плотности тока:

 

(9.1)

 

Плотность тока отлична от нуля при следующих значениях цилиндрических координат:

 

(9.2)

 

Поэтому вектор объемной плотности тока нужно искать в виде:

 

(9.3)

 

А - нормировочный множитель.

В силу того, что

 

(9.4)

 

получаем

 

(9.5)

 

Задача решена.

149 д): Найти , если равномерно заряженная с поверхностной плотностью поверхность кругового конуса с вершиной в начале координат вращается вокруг своего диаметра с угловой скоростью , направленной вдоль оси z.

Решение: Известно, что

 

(9.6)

(9.7)

 

Поэтому сначала найдем распределение объемной плотности заряда . Очевидно, что в сферической системе координат

 

(9.8)

 

Следовательно,

 

(9.9)

 

Нормировочный множитель А найдем из условия:

 

(9.10)

 

Вычислив объемный интеграл в этой формуле по всему трехмерному пространству получим, что

 

(9.11)

 

Найдем результат векторного произведения (9.7) в сферической системе координат.

 

Рис.11

 

Пусть

 

(*)

 

тогда

 

(**)

 

Легко видеть, что

 

(9.12)

(9.13)

 

В силу взаимной ортогональности базисных ортов сферической системы координат для них имеет место следующая таблица векторных произведений:

 

(9.14)

 

Следовательно,

 

(9.15)

(9.16)

 

Задача решена.