Цилиндрически-симметрическое распределение зарядов.
Решим задачу об определении
Ось цилиндра совмещена с осью z, r - цилиндрическая радиальная координата. Те же рассуждения о симметрии, которые были сделаны в начале §6, приводят к тому, что цилиндрически-симметричное поле
Для того, чтобы иметь дело с конечным значением полного заряда в теореме Гаусса, рассмотрим область трехмерного пространства, ограниченную плоскостями z = 0 и z = H.
Рис.8
а) Найдем
Используя второе основное свойство поверхностного интеграла (5.5), получаем, что интеграл по замкнутой поверхности в (7.3) разлагается на сумму трех интегралов: по первому и второму основаниям и по боковой поверхности вырезанного нами цилиндра
Нормали к основаниям направлены параллельно оси z, а нормаль к боковой поверхности параллельна
Из (7.2) и (7.4) видно, что
Легко видеть, что
Подставляя последние два результата в теорему Гаусса (7.3) получаем
б) Найдем
окончательно
в) Найдем потенциал внутри
Для определения постоянной интегрирования А положим
Отсюда следует, что А обращается в нуль. Для внешней области имеем
Постоянная интегрирования В получается из условия «сшивания» внешнего и внутреннего решений:
Окончательно имеем, что
|
и 
для бесконечного цилиндра радиуса R, заряженного с объемной плотностью
(7.1)
(7.2)
- орт, касательный к цилиндрической радиальной координатной линии.
- внутри цилиндра радиуса R. Через точку Р во внутренней области заряженного цилиндра проведем цилиндрическую поверхность радиуса r < R. Для полученного цилиндра радиуса r и высоты H можно применить теорему Гаусса
(7.3)
(*)
. Поэтому из формулы для векторного элемента поверхности в цилиндрической системе координат (4.12) следует, что
(7.4)
(*)
(**)
(7.5)
вне цилиндра аналогичным способом. Используем теорему Гаусса для цилиндра высоты Н и радиуса r < R. Вместо (**) имеем
(***)
(7.6)
и вне 
заряженного цилиндра. Во внутренней области из (7.2) и (7.5) получаем
(7.7)
(7.8)
(7.9)
(7.10)
