Натуральный репер, присоединенный к криволинейной системе координат.

Сферическая система координат определяется формулами:

;

(2.1)

На примере сферических координат введем понятие координатных линий, которое вводится тем же способом для всех других систем координат.

Рассмотрим произвольную точку , положение которой определяется значениями . Координатная линия получается движением точки при постоянных . Линии и получаются изменениями и при фиксированных значениях остальных координат.

Рис.3

Формулы перехода к общим криволинейным координатам имеют аналогичный вид:

(2.2)

Подставляя эти формулы в (1.1), видим, что в общем случае радиус-вектор точки является сложной функцией от криволинейных координат:

, , ) = . (2.3)

От точки сместимся вдоль координатной линии , придавая только этой координате приращение . Получаемый при этом вектор направлен вдоль координатной линии .

Рис.4

Следовательно, существует такой конечный вектор , касательный к координатной линии в точке , что имеет место уравнение:

. (2.5)

Аналогичные соотношения получаются и вдоль координатных линий:

; (2.6)

Следовательно, векторный элемент длины в криволинейной системе координат определяется формулой:

. (2.7)

Из (2.5) и (2.6) следует, что

. (2.8)

Таким образом, имеется тройка векторов с общим началом и касательных в каждой точке пространства координатным линиям . Векторные поля образуют поле натурального репера, присоединенного к криволинейной системе координат .

Если применить правило дифференцирования сложной функции от многих переменных к (2.8), учитывая (2.3), то получаются формулы перехода от декартова репера к натуральному реперу:

;

;

(2.9)

.

Эти формулы для сферических координат имеют вид:

;

; (2.10)

.

А для цилиндрической системы

, , . (2.11)

имеем:

;

(2.12)

.