Теория потенциала

11.1 Метод частного интегрирования

 

11.1.1. Представление неопределенного интеграла как обратного оператора для дифференцирования функции

 

Любой известной функции от одного переменного можно сопоставить её производную, равную пределу

. (11.1)

Значение производной является новой функцией, которую обозначим следующим образом

(11.2)

Можно сформулировать обратную задачу: по заданной функции найти такую функцию , которая удовлетворяет уравнению (11.2). Последняя функция в математическом анализе называется первообразной исходной функции . Умножая уравнение (11.2) на дифференциал аргумента получим эквивалентную форму этого дифференциального уравнения как равенство бесконечно малых величин первого порядка

(11.3)

Введем оператор интеграла как обратное к дифференциалу действие на функцию

(11.4)

Можно написать символическое уравнение для взаимно обратных и перестановочных операторов интегрирования и дифференцирования

(11.5)

Умножая (11.3) на оператор интегрирования получаем соотношение

(11.6)

Последнее слагаемое, равное произвольной постоянной, при дифференцировании этого соотношения исчезает. Оно известно как константа интегрирования. Подстановка (11.6) превращает (11.3) в тождество и поэтому она является общим решением дифференциального уравнения (11.3). Здесь «дифференциальным» называем уравнение, содержащее символы дифференцирования неизвестной функции. Покажем, что (11.6) удовлетворяет уравнению (11.2)

(11.7)

Отсюда следует, что оператор полной производной и неопределенный интеграл от функции взаимно обратны

(11.8)

Символические вычисления позволяет доказать перестановочность этих двух операций

(11.9)

Литература

1. Алексеев А.Н. Сборник задач по классической электродинамике. М.: Наука, 1977.
Оглавление

§1. Основы реперкого формализма в декартовой системе координат

§2. Натуральный репер, присоединенный к криволинейной системе координат

§3. Метрический тензор и коэффициенты Ламе

§4. Конструирование основных типов векторных интегралов

§5. Два основных свойства криволинейных, поверхностных и объемных интегралов

§6. Определение напряженности и потенциала электростатического поля для сферически симметричного распределения зарядов

§7. Цилиндрически-симметричное распределение зарядов

§8. Электростатическое поле распределения зарядов с симметрией плоскости

§9. Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока

§10. Закон Био-Савара