Конструирование основных типов векторных интегралов.

Криволинейные интегралы скалярного и векторного характера строятся при использовании векторного элемента длины (1.2), который в криволинейной ортогональной системе согласно (2.7) имеют вид:

. (4.1)

В сферических и цилиндрических координатах имеем

; (4.2)

. (4.3)

Криволинейный интеграл скалярного типа получается, если в качестве подынтегрального выражения взять скалярное умножение вектор-функции на векторный элемент длины:

. (4.4)

А если вместо скалярного умножения составить векторное произведение, то получится интеграл векторного типа:

. (4.5)

Поверхностные интегралы двух типов конструируются аналогичным образом. Скалярный интеграл получится по аналогии с (4.4), где роль играет векторный элемент поверхности , который в декартовой системе координат имеет вид:

; (4.6)

. (4.7)

Если здесь скалярное произведение заменить векторным, то получится векторный интеграл. Для вычисления таких интегралов нам понадобятся формулы для векторных элементов длины и поверхности и элемента объема в криволинейных ортогональных системах координат. Перепишем (4.1), вводя туда элементарные длины (3.12):

. (4.8)

Сравним это выражение с (1.2) и видим, что (4.8) получается из (1.2) заменой

;

(4.9)

.

Эту же замену произведем в (4.6) и получим общую формулу для векторного элемента поверхности:

. (4.10)

В сферических и цилиндрических координатах эта формула принимает вид:

; (4.11)

. (4.12)

 

Произведя такую же замену в элементе объема, записанном в декартовой системе координат

, (4.13)

получим элемент объема в криволинейной ортогональной системе координат:

. (4.14)

В сферической и цилиндрической системах:

; (4.15)

. (4.16)