VІІІ. Теоретична база

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1094

До складу Сонячної системи зараховують планети, які віддалені від Сонця наступним порядком: Меркурій (☿), Венера (♀), Земля ( ), Марс (♂), Юпітер (♃), Сатурн (♄), Уран ( ), Нептун (♆), 04.08.06 р. Плутон було виведено зі складу великих планет Сонячної системи за рішенням Міжнародного астрономічного союзу в зв’язку з його малими розмірами.

Планети, так як і Сонце, переміщуються по зодіакальних сузір’ях, оскільки площини їх орбіт лежать майже в площині екліптики (тобто орбіти Землі) і нахилені до неї під кутами від 0º до 7º.

Планети, орбіти яких розташовані всередині орбіти Землі, називаються внутрішніми (нижніми) планетами. Це Меркурій і Венера. Планети, орбіти яких розташовані зовні орбіти Землі, називаються зовнішніми (верхніми).

Розрізняють два рухи планет: видимий рух на небесній сфері серед зір протягом року і орбітальний рух в навколосонячному просторі.

Видимий рух планети серед зір на небесній сфері у вигляді складної лінії з зигзагами та петлями є наслідком спостережень планети з Землі. Більшу частину свого шляху планета переміщується на фоні зір, як і Сонце, з заходу на схід по зодіакальних сузір’ях (прямий рух). Через деякий час планета уповільнює свій видимий рух серед зір і зупиняється, а потім деякий час починає рухатися в зворотному напрямі, зі сходу на захід (зворотній рух). Потім знову зупиняється і продовжує прямий рух.

Орбітальний рух планети – це дійсний рух планети у космічному навколосонячному просторі, який визначається дією гравітаційних сил на цю планету. Виконуючи цей рух, планета описує еліптичну орбіту, згідно законам Кеплера. В 1609 р. І. Кеплер в своїй книзі „Нова астрономія” представив два емпіричні (тобто засновані на досвіді) закони руху планет.

Перший закон Кеплера. Всі планети обертаються навколо Сонця по еліптичних орбітах, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце. Наслідком першого закону є твердження, що орбіти всіх планет мають один загальний фокус, розташований в центрі Сонця.

Другий закон Кеплера. Радіус-вектор планети за однакові проміжки часу описує рівновеликі площі ( ). Внаслідок цього закону планета в перигелії П має найбільшу орбітальну швидкість, а в афелії А – найменшу (рис. 1).

Рис. 1. До другого закону Кеплера

Ці два закони описують рух кожної планети окремо. У Кеплера природно виникає думка про зв’язок та закономірності, які об’єднують усі планети і в 1619 р. в книзі „Гармонії світу” Кеплер представляє таку закономірність як закон.

Тертій закон Кеплера. Квадрати сидеричних періодів обертання планет навколо Сонця прямо пропорційні кубам великих півосей їх орбіт. Внаслідок третього закону внутрішні планети рухаються швидше, а зовнішні повільніше за Землю:

або . (1)

Якщо період Т вимірювати в роках, а велику піввісь в астрономічних одиницях, то С = 1. Тоді маємо:

, або .

Положення планети в космічному просторі однозначно визначають 6 елементів її орбіти:

1) нахил i площини орбіти до площини екліптики;

2) геліоцентрична довгота W висхідного вузла;

3) кутова відстань w перигелію від висхідного вузла;

4) велика піввісь а еліптичної орбіти;

5) ексцентриситет е еліптичної орбіти;

6) момент проходження через перигелій t₀.

Елементи планетних орбіт приводяться в астрономічних щорічниках.

Розглянемо (рис. 2), де представлено взаємне розташування площин екліптики і орбіти планети, які перетинаються під кутом і по лінії вузлів b . Висхідним вузлом b орбіти планети вважається точка перетину орбіти планети з площиною екліптики, проходячи через яку вона піднімається над площиною екліптики в північну частину небесної сфери. Спадним вузлом є точка, в якій планета починає опускатися під площину екліптики відносно північної частини небесної сфери.

Рис. 2. Елементи орбіти планети

Точка П орбіти планети, яка найближче розташовується до фокуса S еліпса орбіти, в якому знаходиться Сонце, називається перигелієм. Точка А орбіти планети, що найдальше розташована від фокуса S еліпса орбіти, називається афелієм. Точка О – центр еліпса. Лінія, яка сполучає точки А і П, називається лінією апсид.

Відносно напрямку на точку весняного рівнодення ^ положення висхідного вузла b визначається кутом Ð^Sb=W,що лежить в площині екліптики. Положення точки перигелію П відносно лінії вузлів b визначається кутом ÐbSП = w,що лежить в площині орбіти планети. Положення перигелію П відносно напрямку на точку весняного рівнодення часто визначають ще сумою кутів w + W = .

Ексцентриситет e визначається як відношення відстані с між фокусом F і центром О еліпса (рис. 3) до величини великої півосі а:

Тоді перигелійна відстань q дорівнює:

. (3)

Афелійна відстань Q дорівнює:

. (4)

Мала піввісь b може бути знайдена таким чином. З означення еліпса маємо для будь-якої його точки М (рис. 3):

Рис. 3. Еліптична орбіта планети

F₁М+ FМ = const.

Якщо ця точка знаходиться в перигелії, тоді:

F₁П+ FП = const.

F₁П = а + с.

FП = а – с.

F₁П+ FП= а + с + а – с = const = 2а. (5)

Якщо точка М знаходиться в положенні В₁, тоді:

,

.

Оскільки F₁В₁+ FВ₁ = const, то:

. (6)

Використовуючи вираз (5) і (6) можемо записати:

,

, (7)

. (8)

Рухаючись по еліптичних орбітах навколо Сонця, Земля і планета можуть займати різні положення відносно Сонця, опиняючись в різних конфігураціях. Конфігурацією планети називається видиме на небі взаємне розташування планети відносно Сонця при спостереженні з Землі. Розрізняють чотири основні конфігурації для планет. Їх назви для внутрішніх планет, орбіти яких лежать всередині орбіти Землі, і зовнішніх планет, орбіти яких лежать за межами орбіти Землі, різні.

Для внутрішніх планет (рис.4) конфігурації мають такі назви:

a) V₁ – нижнє сполучення;

b) V₃ – cхідна елонгація;

c) V₂ – верхнє сполучення;

d) V₄ – західна елонгація.

В положеннях V₁ і V₂ планета, при спостереженнях з Землі T, співпадає з положенням Сонця S, оскільки знаходиться на одному промені зору при проектуванні на картинну площину (або небесну сферу) V₁¢, V₂¢, S¢, тому вона губиться в сонячних променях і спостерігати її неможливо.

Рис. 4. Конфігурації внутрішніх планет

Елонгація – це максимальний кут віддалення планети від Сонця. Положення планети на орбіті в елонгаціях визначаються дотичними TV₃ і TV₄ до орбіти внутрішньої планети. Поняття східної та західної елонгації визначаються добовим рухом світил на небесній сфері. Якщо планета знаходиться в положенні V₃, то проектується при спостереженні з Землі T на небесну сферу в точку V₃¢. Добовий рух світил на небесній сфері відбувається, як відомо, зі сходу на захід, або за годинниковою стрілкою відносно площини математичного горизонту, тому, що Земля рухається проти годинникової стрілки навколо осі. Позиція V₃¢ планети на небесній сфері знаходиться на схід від Сонця S¢, тому і положення V₃ називається східною елонгацією. Відповідно V₄ – західна елонгація.

В елонгаціях внутрішню планету можна спостерігати так довго, як того дозволяє кут R віддалення планети від Сонця. Кут елонгації для Меркурія 28°, для Венери 48°. Отже, Венеру, наприклад, можна спостерігати протягом 48° : 15° = 3^h,12^m, але потрібно ще врахувати тривалість астрономічних сутінків, які зменшують цю тривалість приблизно на 1^h 12^m. Астрономічними сутінками називається час, протягом якого Сонце опускається або піднімається відносно горизонту на кут . Отже, тривалість астрономічних сутінків визначиться як . Тоді Венеру можна спостерігати протягом . Якщо планета в східній елонгації , тобто вона знаходиться на схід від Сонця, то в добовому русі на небесній сфері вона крокує за Сонцем. Сонце першим приходить на захід, ховається під горизонтом, і планету добре видно увечері над горизонтом в західній частині неба.

Конфігурації зовнішніх планет (рис. 5) мають такі назви:

a) V₁ – протистояння;

b) V₂ – сполучення;

c) V₃ – східна квадратура;

d) V₄– західна квадратура.

У протистоянні V₁ планету можна спостерігати у протилежному напрямі від Сонця на небесній сфері у точці протягом всієї ночі.

У сполученні V₂ планета при спостереженнях проектується в точку , співпадає з положенням Сонця і спостерігати її неможливо.

Рис.5. Конфігурації зовнішніх планет

Квадратурою називається таке положення планети, коли її кут R віддалення від Сонця становить 90°. Положення квадратур визначаються точками перетину дотичної, проведеної до орбіти Землі в точці розташування Землі Т на деякий момент, з орбітою планети. За аналогією з попередніми міркуваннями точка V₃ є східною квадратурою, точка V₄ – західною.

В східній квадратурі планету можна спостерігати протягом 90° : 15° = 6^h - 1^h12^m = 4^h48^m в першій половині ночі на заході. В західній квадратурі планету можна спостерігати в другій половині ночі на сході протягом приблизно 5^h.

В спостереженнях на небі можна побачити, як планета змінює напрям свого видимого руху з прямого (проти годинникової стрілки, згідно з напрямом орбітального руху) на назадній (за годинниковою стрілкою), утворюючи петлю в лінії видимого руху планети серед зір. Петлеподібний характер видимого руху планет є результатом поєднання двох дійсних рухів – руху планети і руху Землі по їх еліптичних орбітах навколо Сонця. Розглянемо внутрішню (нижню) планету, коли вона заходиться в положенні V₁ нижнього сполучення (рис. 6). Для спостерігача на Землі З₁ планета спроектується на небесну сферу в положенні П₁. Через деякий час планета, маючи згідно третього закону Кеплера орбітальну швидкість більшу, ніж Земля, займе положення V₂, а Земля – . Тепер спостерігач з Землі З₂ побачить її на небесній сфері в точці П₂ . Ще через такий самий час планета спроектується в положення П₃, утворивши на небесній сфері петлю в своєму видимому русі, змінивши назадній рух на прямий (тобто проти годинникової стрілки).

Рис. 6. Петлеподібний характер руху внутрішньої планети

Для зовнішньої (верхньої) планети для пояснення петлеподібного видимого руху серед зір на небесній сфері потрібно брати до уваги, що згідно третього закону Кеплера така планета має більшу, ніж у Землі, орбітальну швидкість. Якщо планета знаходиться в положенні протистояння (рис. 7), то для спостерігача на Землі вона спроектується на небесну сферу в положення . Через деякий час t планета, маючи меншу, ніж у Землі орбітальну швидкість, займе положення , а Земля – . Тепер спостерігач з Землі побачить планету на небесній сфері в точці . Ще через час t планета спроектується в положення , утворивши на небі петлю в своєму видимому русі, змінивши назадній рух на прямий (проти годинникової стрілки).

Рис. 7. Петлеподібний характер руху зовнішньої планети

Швидкість V планети в будь-якій точці її орбіти можна оцінити за інтегралом енергії:

, (9)

де m – маса Сонця (масою планети нехтуємо), r – відстань планети від Сонця, G – гравітаційна стала, а – велика піввісь еліпса орбіти. Для порівняння потрібно пам’ятати, що Земля рухається по орбіті з V_сер = 29,6 км/с. Внутрішні планети внаслідок ІІІ закону Кеплера рухаються швидше, а зовнішні – повільніше за Землю. Крім того, внаслідок ІІ закону Кеплера орбітальна швидкість планети в афелії менша за її швидкість в перигелії.

Розрізняють синодичний і сидеричний періоди обертання планет.

Синодичним S періодом планети (від грецького слова sinodis – „зближення”) називається проміжок часу між двома однойменними конфігураціями.

Сидеричним T періодом планети (від грецького слова sideris – „зоря”) називається проміжок часу між двома послідовними проходженнями планети через напрямок, визначений по відношенню до зір, або час повного оберту планети навколо Сонця.

Між синодичним S і сидеричним Т періодами планети встановлено зв’язок через сидеричний період обертання Землі. Позначимо:

– кутове добове зміщення Землі по орбіті;

– кутове добове зміщення планети по орбіті;

- видиме кутове добове зміщення планети на небесній сфері.

Для внутрішніх планет (рис. 8), враховуючи ІІІ закон Кеплера, маємо . В момент t₁ планета знаходиться в положенні V₁, Земля – в положенні З₁. Через одну добу планета, маючи більшу швидкість, опиниться в положенні V₂, а Земля – З₂. З рисунку можемо записати:

Рис. 8. До рівняння синодичного руху внутрішніх планет

(10)

Кут визначає видиме взаємне розташування планети по відношенню до Сонця і Землі, тобто її конфігурацію, отже можна записати:

(11)

(12)

(13)

Підставимо (11) – (13) в (10) і запишемо рівняння синодичного руху внутрішньої планети:

(14)

(15)

Для зовнішніх планет (рис. 9), враховуючи ІІІ закон Кеплера, маємо . В момент t₁ планета знаходиться в положенні V₁, а Земля в положенні З₁. Через одну добу планета, маючи меншу швидкість опиниться в положенні V₂, а Земля – З₂. З рисунку можемо записати:

Рис. 9. До рівняння синодичного руху зовнішніх планет

. (16)

Кут визначає видиме взаємне розташування планети по відношенню до Сонця і Землі, тобто конфігурацію, отже, можна записати рівняння синодичного руху зовнішньої планети:

, (17)

або

. (18)