VIII. Теоретична база

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1188

Згідно закону Ньютона всі небесні тіла притягуються один до одного. Порівняно з масою Сонця маси інших небесних тіл дуже малі і тому сили взаємного притягання між ними теж мізерні. Через це в першому наближенні вважають, що будь-яке небесне тіло рухається під дією лише Сонця, тобто маємо задачу двох тіл: Сонце - тіло. При такому припущені рух тіла є еліптичним і підкорюється законам Кеплера, тому називається кеплерівським рухом.

Рух небесного тіла в просторі по еліптичній орбіті повністю визначається шістьома величинами, які, як уже відомо, називаються елементами орбіти.

Два елемента – нахил та довгота висхідного вузла – визначають положення в просторі тієї площини, в якій відбувається рух планети.

Нахилом називається кут і (рис. 1) між площиною руху тіла і площиною екліптики (тобто площиною орбіти Землі).

Дві точки, в яких тіло перетинає площину екліптики називають вузлами. Розрізняють висхідний вузол b, поблизу якого тіло переходить з південної частини небесної сфери у північну, низхідний вузол , в якому тіло переходить з північної частини небесної сфери в південну. Кут між напрямом на точку ^ весняного рівнодення та напрямом на висхідний вузол b орбіти називається довготою висхідного вузла.

Рис. 1. Елементи еліптичної орбіти

Лінія, яка сполучає два вузли орбіти називається лінією вузлів, по якій дві площини (екліптики і орбіти) перетинаються.

Третій елемент – відстань перигелію П від висхідного вузла b - це кут між напрямами лінії вузлів і лінії апсид АП, яка сполучає точки афелію А і перигелію П. Цей елемент визначає положення точки перигелію на орбіті.

Четвертий і п’ятий елементи – велика піввісь і ексцентриситет – визначають розміри та форму еліптичної орбіти. Велика піввісь ОП = ОА визначається як відстань від центра еліпса О до точок афелію або перигелію: ОП = ОА = а. За форму орбіти відповідає ексцентриситет, який визначається відношенням фокальної відстані до великої піввісі. Фокальна відстань OS = с визначає положення точки фокуса еліпса, в якому завжди знаходиться Сонце S, до центра еліпса О; Ексцентриситет е = с/а.

Шостий елемент є моментом проходження тіла через точку перигелію t.

Знаючи форму, розміри і розташування орбіти в просторі можна визначити положення небесного тіла в просторі, а потім обрахувати його видиме положення на небесній сфері, тобто його координати.

Опис та вивчення орбіти небесних тіл за допомогою рішення задачі двох тіл є лише першим кроком на шляху вивчення складних рухів небесних тіл. Коли розглядається взаємодія лише двох тіл, яке відповідає рішенню задачі двох тіл, говорять про незбурений або кеплерівський рух. Однак, всі тіла Сонячної системи притягуються одне до одного. Через це будь-яке небесне тіло притягується не лише Сонцем, але і планетами. З всесвітнього закону тяжіння Ньютона випливає, що всі планети, астероїди, комети Сонячної системи притягуються одне до одного і змінюють орбіту кожного з тіл.

Таким чином, жодне небесне тіло в Сонячній системі не може точно рухатися по еліпсу (параболі чи гіперболі). Всі відхилення від еліпса, параболи чи гіперболи називають загалом збуренням. Методи визначення збурень, а також методи рішення важливих задач небесної механіки розвивалися одночасно з методами вищої математики. В тому вигляді, в якому ми знаємо небесну механіку, вона створена працями великих математиків Алексіса Клода Клеро (07.05.1713 – 17.05.1765 р.). Жана Лерона Даламбера (16.11.1717 – 29.10.1783 р.), Леонарда Ейлера (15.04.1707 – 18.09.1783 р.), Жозефа Луи Лагранжа (25.01.1736 – 10.04.1813), П’єра Симона Лапласа (23.03.1749 – 05.03.1827 р.). Двадцяте і двадцять перше століття надали небесній механіці потужні електронні математичні методи. Розвиток небесної механіки обумовлений вимогами астрономічної практики та можливого уточнення закону Ньютона. Встановлена Ньютоном залежність сили притягання матеріальних частинок на відстані не викликає зараз сумнівів. Закон Ньютона підтверджується сукупністю спостережень і теоретичних праць.

Задача про рух тіл в Сонячній системі передбачає вивчення математичним шляхом їх рухів, якщо відомі положення і швидкості в деякий початковий момент часу.

Оскільки маси комет дуже незначні, то вони не впливають будь-як помітно на рух інших тіл Сонячної системи. Через це рух кожної комети розглядають окремо, вважаючи, що вони притягуються Сонцем і планетами, але самі їх не притягують. Однак, не дивлячись на таке спрощення, ми в будь-якому випадку отримуємо задачу про рух не двох, а декількох тіл, які взаємодіють за законом Ньютона. Така задача в математичному відношенні настільки складна, що до цього часу залишається невирішеною в загальному вигляді. Іншими словами, ми не можемо отримати формули, які дозволяють обраховувати положення цих тіл в просторі. Не можемо описати рух, як це було можливо в задачі двох тіл.

Справа не тільки в математичній складності задачі, а і в складності самих рухів, навіть у випадку трьох тіл. Щоби отримати деяке уявлення про ці труднощі розглянемо три тіла: Сонце С, Юпітер Ю, невелике тіло М (рис. 2). Таке тіло через малу масу не впливає на рух Юпітера і можна вважати, що він рухається тільки під впливом притягання до Сонця по деякій еліптичній орбіті, а невелике тіло рухається під впливом Сонця і Юпітера. Така задача в небесній механіці має назву обмеженої задачі трьох тіл. Її обмеженість в тому, що не враховується вплив одного з трьох тіл.

Рис. 2. Приклад руху в обмеженій задачі трьох тіл

До того часу, поки тіло М знаходиться порівняно далеко від Юпітера, його притягання до Юпітера в багато разів менше, ніж до Сонця, і воно рухається еліптичною орбітою навколо Сонця. На рис. 2 М₀ – початкове положення невеликого тіла, М₀М₁ – відрізок еліпса, по якому воно рухається спочатку. Якщо в той момент, коли тіло потрапляє в точку М₁, Юпітер Ю₀ знаходиться далеко від М₁, то воно буде продовжувати рухатися по тій самій еліптичній орбіті, яка позначена на рис. 2 цифрою 1.

Але якщо взаємні положення тіла і Юпітера та їх швидкості такі, що поблизу цього моменту вони підходять близько одне до одного і знаходяться в точках Ю₁ і М₁, тоді під впливом Юпітера тіло може дуже сильно відхилитися від свого еліптичного шляху. Величина і характер цього відхилення залежать від взаємного розташування Сонця, Юпітера і тіла в момент найбільшого їх взаємного зближення, від величини і напряму їх швидкостей, тобто від початкових умов задачі. Можливо, навіть, що збурення Юпітера приведе до такого збільшення швидкості тіла, що вона назавжди віддалиться від Сонця, рухаючись по параболічній або гіперболічній орбіті.

Припустимо, що в результаті розташування близько від Юпітера тіло змінило швидкість і стало рухатися по еліпсу, що позначено на рис. 2 цифрою 2. Будь-яка загальна формула, в якій враховувалися би всі можливі наслідки кожної зустрічі, їх різноманітність при дуже незначній зміні початкових умов, буде неймовірно складною

В 1912 році фінський математик Зундман знайшов теоретичний розв’язок задачі трьох тіл, але математичні формули Зундмана настільки складні, що не дають можливості ні обрахувати координати тіла, ні робити будь-який висновок про характер руху.

Таким чином, до цього часу ми не маємо повного розв’язку задачі про рух трьох або більшого числа тіл. Через це при дослідженні руху тіл Сонячної системи використовуються різні наближенні методи.

Рух небесних тіл досліджувався в основному методами кількісної небесної механіки. Ці методи дозволяють знайти такий наближений розв’язок задачі про рух конкретних небесних тіл, який на визначеному інтервалі часу дуже близький до невідомого точного розв’язку. Методи кількісної небесної механіки дозволяють побудувати теорії руху небесних тіл. За допомогою цих теорій можна обчислювати положення тіл в просторі протягом деякого часу, встановити зв'язок між взаємними збуреннями цих тіл та їх масами, потім визначити ці маси тощо.

Тобто методи кількісної небесної механіки відрізняються від аналітичних методів тим, що за їх допомогою отримують не формули, які визначають збурення небесних тіл, а лише координати (числа), які визначають положення небесного тіла в просторі в визначений момент часу. Якщо для кожного тіла відомі в початковий момент t₀ - положення і швидкість, то можна визначити сили взаємодії між тілами, а також прискорення, які тіла надають одне одному в початковий момент часу. Обравши момент t₁, близький до початкового, припускають, що за дуже малий проміжок часу , прискорення тіл не змінюється. Тоді за формулами рівномірно-прискореного руху можна для кожного тіла розрахувати його відхилення від рівномірного і прямолінійного руху за час , та його положення і швидкість в момент t₁. Потім знову зробити визначення в момент t₂ тощо.

Таким чином, крок за кроком, послідовно обраховуються наближені положення небесних тіл.

Обрахунки послідовних положень небесного тіла на орбіті досить прості, однак кількість операцій для розрахунку для більш-менш тривалого проміжку часу (наприклад, десятки років) колосальне. Такі методи почали ефективно працювати тільки з появою сучасного арсеналу обчислювальної техніки.

Задачі трьох тіл і чотирьох тіл розв’язуються чисельно так же просто, як і задача двох тіл.

Очевидно, що чисельні методи небесної механіки ґрунтуються на теоретично-аналітичній базі, основою якої є закон всесвітнього тяжіння Ньютона і три закони Кеплера.

Закон всесвітнього тяжіння Ісаак Ньютон (04.01.1643 – 31.03.1727р.) відкрив поставивши задачу: знайти аналітичний вираз для сили, під дією якої тіло рухається навколо Сонця за законами Кеплера. Є виведення закону всесвітнього тяжіння з законів Кеплера, в якому Ньютон прийняв тотожність сили земного притягання з силою, яка утримує небесні тіла на їх орбітах, тобто з силою тяжіння. Ми не будемо його розглядати, зосередившись на законах Кеплера.

Іоган Кеплер (27.12.1571 – 15.11.1630) за свої недовгі 59 років зробив внесок в науку, значення якого переоцінити неможливо – три закони руху небесного тіла – закони Кеплера. Перший і другий Закони І. Кеплер представив в 1609 р. в книзі «Нова астрономія», які характеризують рух кожної окремо планети. В 1619 р. в книзі «П’ять книг Іогана Кеплера про гармонії світу» дається третій закон, який пов’язує рухи всіх планет. Відкриттям цього закону Кеплер блискуче завершив поставлену задачу і створив основи теоретичної астрономії.

Через 68 років після виходу книги «Гармонії світу» І. Кеплера його роботу плодотворно продовжив Ісаак Ньютон, який в 1687 р. в роботі «Математичні принципи натуральної філософії» представив закон всесвітнього тяжіння, виведений на основі трьох законів Кеплера. В цій книзі Ньютон також показав розв’язок оберненої задачі: він вивів закони Кеплера з закону всесвітнього тяжіння і отримав перший закон Кеплера частково і другий в більш загальному вигляді, а третій закон в більш точній формі, ніж ці закони були отримані емпіричним шляхом самим Кеплером. При розв’язанні такої оберненої задачі Ньютон не брав до уваги сили, які виникають в результаті взаємного притягання планет і розглядав так звану задачу двох тіл.

Виведення першого і другого законів Кеплера з закону всесвітнього тяжіння.

Нехай М – маса Сонця, m – маса планети, r – відстань між центрами Сонця і планет. Очевидно, Сонце притягує планету з силою:

, (1)

де К² – позначення постійної тяжіння, якщо за одиницю маси прийняти масу Сонця, за одиницю відстані – середню відстань Землі від Сонця; в такому випадку: .

Сонце надає планеті прискорення:

. (2)

Планета в свою чергу притягує Сонце з силою:

(3)

і надає Сонцю прискорення:

. (4)

Відповідно до положення механіки: для одержання прискорення планети відносно Сонця (не відносно центра інерції системи Сонце – планета) потрібно скласти одержані прискорення, взявши прискорення Сонця з оберненим знаком. Тоді прискорення планети відносно Сонця буде:

. (5)

Приймаючи за початок просторової прямокутної системи координат точку центра Сонця і взявши проекції відносного прискорення планети на три координатні осі, одержимо систему трьох диференціальних рівнянь другого порядку відносно руху планети:

;

; (6)

,

де . (6а)

Помноживши перше і друге з рівнянь (6) відповідно на – y і на х, складемо їх і одержимо: , або .

Аналогічно одержимо: ; .

Інтегруючи три останні диференціальні рівняння, знайдемо:

;

; (7)

.

Помножимо перше рівняння (7) на z, друге на y, третє – на х, складемо їх і одержимо:

(8)

Рівняння (8) є рівнянням площини, яка проходить через початок координат. Отже, орбіта планети – це пласка крива в площині, яка проходить через центр Сонця.

Оберемо тепер нову систему координат так, щоби площина ХУ співпадала з площиною орбіти, а центр Сонця був знову в початку координат. Тоді замість трьох рівнянь (7) одержимо тільки одне диференціальне рівняння:

. (9)

Переходячи до полярної системи координат, перетворюємо останнє рівняння до вигляду:

. (10)

Таким чином ми отримали аналітичний вираз другого закону Кеплера – закону площ (10). Константа С₁ в правій частині є не що інше, як подвоєна секторіальна швидкість планети, а саме рівняння ще називають інтегралом площ.

Розглянемо рівняння (6). Перше з них помножимо на , друге – на і складемо почленно отримані добутки:

.

Ліва частина цього диференціального рівняння може бути представлена у вигляді: .

Крім того: , оскільки: .

Отже, маємо:

.

Вираз в квадратних дужках є квадратом швидкості, тобто , отже: .

Про інтегрувавши останній вираз одержимо:

. (11)

Рівняння (11) в небесній механіці називають інтегралом живих сил. Чисельне значення константи С₂ визначається початковими умовами, значення полярного радіуса r₀ та швидкості V₀ в момент часу t₀. Квадрат швидкості в полярних координатах виражається формулою:

.

Цей вираз можна записати наступним чином:

. (12)

Значення візьмемо з виразу (10), тоді маємо:

. (13)

Прирівняємо праві частини рівнянь (11) та (13) і одержимо:

,

або:

,

Звідки маємо:

;

;

.

Інтегруючи обидві частини останнього рівняння, знаходимо:

,

або:

.

Після перетворень маємо:

.

Ми отримали рівняння кривої другого порядку в полярній системі координат. Ексцентриситет е і параметр р цієї кривої рівні:

; (15)

(16)

Константу інтегрування С₃ позначають . Вона не дорівнює нулю, оскільки полярна вісь обиралася довільно. Виконавши заміни в рівнянні (14) одержимо рівняння кривої другого порядку у вигляді:

(17)

З рівняння (17) випливає, що рух планет навколо Сонця відбувається по одному з трьох конічних перетинів, тобто орбіта може бути або еліптичною, або параболічною, або гіперболічною. Таким чином, виведений на основі закону всесвітнього тяжіння перший закон Кеплера (17) має більш загальний вигляд ніж той, що одержав сам Кеплер.

З аналізу виразу (15) маємо, що вигляд кривої другого порядку залежить від знаку константи С₂. Якщо С₂ < 0, то е < 1 і тоді крива (17) – еліпс. При С₂ = 0, крива буде параболою, а при С₂ > 0 – гіперболою.

Виведення третього закону Кеплера з закону всесвітнього тяжіння. Якщо планета рухається по еліптичній орбіті, константа С₁ в виразі (10) дорівнює подвоєній секторіальній швидкості і може бути представлена у вигляді:

.

Але з виразу (16) маємо:

,

отже:

. (18)

Оскільки виходячи з (6а):

,

з аналітичної геометрії відомо, що параметр р кривої другого порядку визначається як половина хорди, яка проведена через фокус паралельно до малої осі:

,

де a і b – велика і мала півосі.

Тоді вираз (18) набуває вигляду:

,

або:

. (19)

Для двох планет з масами m₁ і m₂, періодами обертання навколо Сонця P₁ і P₂ та з великими півосями їх орбіт а₁ і а₂ маємо:

. (20)

Вираз (20) представляє уточнений третій закон Кеплера.

Якщо знехтувати масами планет m₁ і m₂, одержуємо вираз, який отримав саме Кеплер на основі спостережень.

Еліптичний рух характеризується рівнянням (17) кривої другого порядку. Виходячи з властивостей еліпса і значення його фокального параметра р маємо:

; ; ,

тоді: ; ; ; ; .

Підставивши значення фокального параметра в вираз (17) маємо рівняння еліпса:

(20а)

З шести елементів еліптичної орбіти, які визначають орієнтацію орбіти в просторі, її розміри, форму та положення планети на ній, останній елемент – час проходження планети через перигелій орбіти визначається за величиною середньої аномалії.

Нехай планета в момент t₀ знаходиться в точці перигелію, а в момент t₁ вона буде в точці Р (рис. 3). Опишемо навколо центра еліпса О коло радіусом, рівним величині великої піввісі а. Проведемо через точку Р лінію, перпендикулярну до лінії апсид АП. Вона перетне коло в точці N. При розгляді руху планети по еліптичній орбіті використовують два кути: і Е. Кут = < ПСР між напрямами на перигелій П і на планету Р від Сонця С називається істинною аномалією планети в момент t₁ і представляє собою її полярний кут.

Кут Е=<NОП між напрямами на перигелій і на точку N з центра еліпса називається ексцентричною аномалією планети в момент t₁. При русі планети по орбіті обидва ці кути змінюються нерівномірно від 0⁰ до 360⁰.

Розглянемо величину n середнього (добового) кутового руху планети по орбіті. Якщо Т сидеричний період обертання планети, то, очевидно:

,

де Т виражено в добах.

Уявимо собі точку, яка виходить із перигелію одночасно з планетою Р і рухається по колу рівномірно зі швидкістю, яка дорівнює середній швидкості руху планет Р по орбіті, тобто величині n. Якщо така точка в момент t₁ займе положення , тоді кут М = < ОП називається середньою аномалією планети в момент t₁. Виходячи зі змісту понять можемо записати:

(21)

Рис. 3. Еліптичний рух

( - істинна аномалія; Е - ексцентрична аномалія;

М – середня аномалія; р – фокальний параметр)

З розгляду рис. 3 і використовуючи рівняння еліпса:

(22а)

одержимо:

(22)

Використавши рівняння еліпса вигляду:

можна отримати, що відношення між ординатами точок на еліпсі с півосями a і b на колі радіуса а при одному значенні абсцис:

.

Застосувавши отримане для еліпса можна одержати вираз:

(23)

За виразами (22) і (23) можна знайти орбітальні координати:

;

.

Взявши квадратний корінь з суми їх квадратів, отримаємо, що радіус-вектор

. (24)

Тепер з (22) знайдемо:

, (25)

а з (23) маємо:

. (26)

Використовуючи зв’язки між тригонометричними функціями знайдемо:

(27)

Підставивши (27) в (26) знайдемо істинну аномалію:

(28)

Вираз (28) дає зв'язок між істинною і ексцентричною аномаліями.

Продеференціювавши вираз (26) і використавши вираз (25) одержимо:

(29)

Щоб знайти зв'язок між істинною аномалією і часом маємо обчислити інтеграл

(30)

Підставивши (24) і (29) в (30) одержимо:

,

або:

. (31)

Ми одержали знамените рівняння Кеплера, яке і завершує аналітичний розв’язок задачі двох тіл для випадку еліптичного руху.

Визначення ефемерид небесних тіл. Обрахунки положення тіла на орбіті для деякого моменту часу проводять в такий послідовності:

1. За формулою (21), в якій відомо період обертання тіла навколо Сонця і інтервал часу , визначають середню аномалію М.

2. За формулою (31), де відомий ексцентриситет е і середня аномалія М методом ітерацій Ньютона (лат. іteration – «повторення») знаходять ексцентричну аномалію Е. Рівняння Кеплера представимо у вигляді :

З математичного аналізу знаємо:

,

,

тоді:

. (32)

В останньому наближенні має бути .

3. За виразами (22а) і (28) визначають радіус-вектор r і істинну аномалію .

Визначивши значення радіус-векторів і істинної аномалії можна з’ясувати вигляд орбіти тіла (комети) і зобразити частину її орбіти по відношенню до екліптики, наприклад так, як це показано на рис. 4. для комети Галлея.

Рис. 4. Частина орбіти комети Галлея над екліптикою