VIIІ. Теоретична база

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1040

Рух і конфігурації планет

Перший Закон Кеплера

Планети обертаються навколо Сонця по еліптичним орбітам, одним із фокусів яких є центр Сонця. В першому наближенні можна вважати, що орбіти великих планет лежать приблизно в одній площині.

Велика піввісь а орбіти (рис. 3) визначає розміри, а ексцентриситет е – ступінь витягнутості орбіти. Радіус-вектор r планети змінюється в межах від перигелійної відстані q = CП до афелійної відстані Q = CA.

Рис. 3. Графічне представлення І-го Закону Кеплера

Оскільки q = a - c і Q = a + c, ексцентриситет орбіти (за визначенням), то

(1)

(2)

Велика піввісь а орбіти є середньою відстанню планети від Сонця, так як:

(3)

Відстані між планетами і відстані планет від Сонця завжди виражаються в астрономічних одиницях (а.о.), тобто в середніх відстанях Землі від Сонця. При необхідності ці відстані можуть бути виражені в км із розрахунку, що 1а.о. = 149,5*10⁶ км.

Другий і третій Закони Кеплера

Лінійна швидкість планети в будь-якій точці її орбіти на відстані від Сонця визначається інтегралом енергії:

, (4)

причому а – велика піввісь орбіти, а , де – гравітаційна стала, М – маса Сонця і – маса планети.

Для обрахунку лінійної швидкості планет можна обійтись без знання величини . Написавши рівність (4) для середньої відстані а планети від Сонця (для великої піввісі планети), тобто взявши , отримаємо лінійну швидкість планети на середній відстані від Сонця, яку називають колової швидкістю планети:

, (5)

і поділивши (4) на (5) знайдемо:

,

або

, (6)

причому і виражені в однакових одиницях вимірювання. Як правило, лінійні швидкості небесних тіл виражаються в км/с.

Підставляючи в вираз (6) різні значення , можна обрахувати лінійну швидкість планети в будь-якій точці її орбіти. Так, при отримаємо лінійну швидкість планети в перигелії, а при – лінійну швидкість планети в афелії.

Лінійна швидкість планети , що відповідає середній відстані планети від Сонця, називається середньою або коловою швидкістю і обраховується за періодом обертання планети навколо Сонця:

. (7)

Щоб отримати в км/с, необхідно виразити а в кілометрах а - в секундах. Зазвичай а задається в астрономічних одиницях і - в роках, але так як 1а.о. = 149,5*10⁶ км, а 1 год. = 31,56810⁶ с, то:

, (8)

де а – в а.о. і - в роках.

Зв’язок між періодами обертання планет і їх середніми відстанями а від Сонця встановлюється третім Законом Кеплера:

, (9)

причому індекс «1» відноситься до однієї планети, а індекс «2» - до іншої. В формулі (9) період обертання і великі піввісі орбіт а можуть бути в відповідності виражені в будь-яких, але обов’язково в однакових одиницях вимірювання.

Якщо ж виражено в роках і а – в астрономічних одиницях, то підставивши в формулу (9) для Землі год. і , отримаємо для будь-якої планети:

. (10)

Формула (10) може бити використана тільки при виражені в роках і а – в а.о.

Всі три Закони Кеплера справедливі для руху комет навколо Сонця, а також для руху супутників навколо планет, але формула (10) до руху супутників не застосовується, так як маси планет відрізняються від маси Сонця.

Конфігурації планет

Видимі з Землі положення планет відносно Сонця називаються їх конфігураціями. Конфігурації планет можуть бути обчислені за їх геліоцентричною довготою l, відлічуваною в площині екліптики від точки весняного рівнодення проти годинникової стрілки (рис. 4а). Видима з Землі кутова відстань планети від сонця називають її елонгацією. У внутрішніх планет Меркурія і Венери значення найбільшої елонгації визначається напрямком дотичної до їх орбіт. У зовнішніх планет елонгація може змінюватись від 0 до .

а) б)

Рис. 4. а) конфігурація внутрішньої планети

б) конфігурація зовнішньої планети

Проміжок часу між двома послідовними однойменними конфігураціями планети називається синодичним періодом обертання планети. Із-за руху Землі навколо сонця синодичний період обертання S планет не рівний їх періоду обертання Т навколо Сонця, називають сидеричним періодом або зоряним періодом обертання. Зв’язок між двома періодами S і Т встановлюється через рівняння синодичного руху:

для нижніх планет (11)

для верхніх планет , (12)

де сидеричний період обертання Землі, рівний 1 року.

Обчислення за формулами (11) і (12) краще проводити в роках, вважаючи , а потім, у випадку необхідності, перевести в добу із міркувань, що 1 рік = 365,25 діб.

Синодичний період обертання планети дозволяє визначити дату чергового наступу певної конфігурації планети із відомою датою такої ж конфігурації. Очевидно,

(13)

Дати наступу будь-яких конфігурацій планет можуть бути обчисленні за їх геліоцентричними довготами. Нехай в деякий день року геліоцентрична довгота зовнішньої планети є , а геліоцентрична довгота Землі - (рис. 4б). Планета за добу проходить по орбіті дугу (середньо добовий кутовий рух планети), а Земля - (середньо добовий кутовий рух Землі), де Т - сидеричний період обертання планети і - сидеричний період обертання Землі (зоряний рік), де Т і виражені в середніх добах.

Так як зовнішні планети рухаються повільніше Землі ( ), то . В якомусь дні року наступить шукана конфігурація планети, при якій геліоцентрична довгота планети буде , а геліоцентрична довгота Землі - . Тоді:

(14)

і

(15)

звідки, виразивши , і , отримаємо:

(16)

і знайдемо:

(17)

Очевидно, що являє собою кутовий шлях Землі по орбіті відносно планети, який Земля проходить з кутовою швидкістю за проміжок часу . Цей шлях легко визначити із положення планет за схемою.

Формули (14) – (17) використовуються і для обчислення конфігурацій нижніх планет, але так як ці планети рухаються швидше Землі, то , і дуга визначається за рухом планети відносно Землі.

Ексцентриситети планетних орбіт

Ексцентриситети планетних орбіт визначаються із спостережень різними методами. Ексцентриситет е орбіти нижньої планети може бути обрахований за значеннями найбільшої елонгації, яка залежить від величини радіуса-вектора r планети в цей момент. Очевидно, що значення найбільшої елонгації планети (рис. 5а) при проходженні нею перигелію буде менше значення найбільшої елонгації при проходженні планети афелію своєї орбіти. Тоді:

(18)

(19)

де а₀ = 1 а.о. – середня відстань Землі від Сонця (орбіта Землі приймається за колову). Так як:

, (20)

із (18) – (20) випливає:

, (21)

звідси обраховується ексцентриситет орбіти внутрішньої планети.

а) б)

Рис. 5. а) ексцентриситет орбіти нижньої планети

б) ексцентриситет орбіти верхньої планети

Рівність (20) дозволить обрахувати ексцентриситет орбіти планети за виміром з неї видимого (кутового) діаметру d сонячного диску, оскільки d обернено пропорційно величини радіуса-вектора r планети. Найбільшого значення d ( ) буде при проходжу ванні планетою перигелію (r = q), а найменшого значення d ( ) – при проходженні планетою афелію r = Q, що дає

(22)

Ексцентриситет орбіти верхньої планети обчислюється за виміряним геоцентричною відстанню планети в епоху її найближчого (великого) протистояння (рис. 5б), для якого:

(23)

Тоді шуканий ексцентриситет орбіти:

(24)

де а – велика піввісь орбіти планети.

За значенням ексцентриситету орбіти планети і нахилу осі її обертання можна визначити ступінь їй впливу на зміну пору року на планеті. Кількість тепла І отриманого планетою від Сонця обернено пропорційна квадрату радіусу-вектору планети, і для днів проходження перигелію і афелію:

(25)

Відносно зміни кількості тепла із-за зміни нахилу Сонця (внаслідок нахилу осі планети) можна підрахувати для різних місць поверхні планети за зенітною відстанню Сонця і в полудень в дні літнього і зимового сонцестояння, так як в першому випадку:

, в другому випадку: , що дає:

(26)