Поверхности вращения

Поверхностью вращения называется поверхность, получаемая вращением какой-либо линии или кривой, как плоской, так и пространственной вокруг некоторой оси.

Любая поверхность вращения может быть задана образующей l и осью вращения i. Определитель поверхности вращения: F{l, i}[A₁], где [A₁] –алгоритм образованияповерхности (вращения).

Поверхность вращения задают на чертеже проекциями образующей и осью вращения,. Каждая точка образующей l описывает окружность h с центром на оси i (рис.7.1).

Рис. 7.1. Поверхность вращения на эпюре Монжа

 

 

Эти окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и называются параллелями. Обычно ось вращения направлена перпендикулярно к какой-либо плоскости проекции, поэтому параллели проецируются на эту плоскость в натуральную величину. Наибольшая из параллелей называется экватором, а наименьшая горлом. Плоскость, проходящая через ось вращения, называется меридиональной плоскостью, а линия ее пересечения с поверхностью вращения – меридианом. Меридиан, параллельный фронтальной проекции называется главным меридианом. Главный меридиан определяет очерк поверхности вращения на фронтальной плоскости проекций, а на горизонтальной плоскости проекций очерк поверхности ограничивается экватором h_Э, горлом h_Г, верхней h₁ и нижней h₂ параллелями.

Поверхность вращения называется закрытой, если меридиан является замкнутой кривой, пересекающей ось в двух точках. Каждая из параллелей пересекает меридиан под прямым углом, т.е. параллели и меридианы образуют прямоугольный каркас поверхности.

Экватор h_Э является границей видимости поверхности вращения для горизонтальной плоскости проекций, а главный меридиан - для фронтальной плоскости проекций.

К линейчатым поверхностям вращения относятся: цилиндрическая, коническая и однополостный гиперболоид вращения.

Так как прямая безгранична, то линейчатые поверхности вращения ограничивают двумя параллельными плоскостями и получают тела вращения; цилиндр, однополостный гиперболоид, конус. У конуса вращения одна из ограничивающих плоскостей проходит через вершину.

Если главным меридианом поверхности является кривая второго порядка, то поверхность называется поверхностью вращения второго порядка. Эти поверхности имеют общий определитель F{l², i}[A₁],

где: l² – кривая второго порядка; а i – ось вращения.

Наиболее распространены следующие поверхности второго порядка, которые образуются при вращении: цилиндр – кривой второго порядка, распавшейся на две параллельные прямые; конус – кривой второго порядка, распавшейся на две пересекающиеся прямые; сфера – окружности вокруг оси, совпадающей с ее диаметром; эллипсоид – эллипса вокруг одной из его осей; параболоид – параболы вокруг ее оси.

При вращении кривой второго порядка вокруг оси, не совпадающей с осью самой кривой, могут быть образованы поверхности вращения более высокого порядка. К таким поверхностям относится тор.

Тором называется поверхность, образованная при вращении окружности вокруг оси, инцидентной ее плоскости, но не проходящей через центр. В зависимости от величины r – радиуса образующей окружности и расстояния R от ее центра до оси вращения возможны три варианта поверхности тора.

Вариант 1: r< R –открытый тор или круговое кольцо (рис. 7.2).

Вариант 2: r=R – закрытый тор (образующая касается оси).

Вариант 3: r> R – закрытый тор (двуполостной).

Определитель тора может быть задан двумя параметрами r и R.

Ф{R, r}[А₁] или Ф{(0, r) i }[А₁], где: r – радиусобразующей окружности; 0 – центр этой окружности; i – ось вращения.

Если нужно построить точку на поверхности вращения, то строят одну из параллелей (h) и на ней задают точку (например, точка L на рис. 7.2).

Рис. 7.2. Поверхность тора и точка L на ее поверхности