Пересечение поверхности вращения плоскостью

Линия пересечения поверхности вращения плоскостью в общем случае – плоская кривая линия, которая строится по точкам.

Для линейчатых поверхностей вращения искомые точки находят как точки пересечения образующих поверхности с плоскостью. Если поверхность вращения не линейчатая, то основным способом построения точек линии пересечения является способ введения вспомогательных секущих плоскостей (способ параллелей).

Вспомогательные секущие плоскости следует выбирать так, чтобы в сечении поверхности этой плоскостью лежали графически простые линии – прямые или окружности. Кроме того, если в сечении лежат окружности, то поверхность должна быть так расположена относительно плоскостей проекций, чтобы окружности на одну из плоскостей проекций изображались в натуральную величину.

Среди точек линии пересечения нужно различать два типа точек:

1) произвольные или случайные,

2) опорные, которые выделяются особым расположением по отношению к плоскостям проекций. Таковы, например, самая близкая и самая удаленная точки, высшая и низшая точки, самая левая и самая правая точки сечения (по отношению к наблюдателю, стоящему лицом к плоскости V); точки видимости, расположенные на очертании поверхности, также относятся к опорным.

Все произвольные точки кривой сечения находятся обычно одним и тем же приемом. Опорные же точки в большинстве случаев находятся каждая своим приемом.

Алгоритм решения задачи пересечения поверхности вращения плоскостью, с помощью вспомогательных секущих плоскостей, следующий:

· Для нахождения точек линии пересечения k вводят ряд вспомогательных секущих плоскостей R₁… R_n, проходящих перпендикулярно оси вращения поверхности Ф. Эти плоскости пересекают поверхность вращения по окружностям – параллелям, а плоскость Р по прямым линиям.

· Линии l_i и p_i принадлежат плоскости R_i. В общем случае они пересекутся в двух точках, которые принадлежат линии пересечения k.

· Линия пересечения k является объединением таких точек.

Однако часто бывает заранее известен вид кривой линии, получающейся в сечении поверхности плоскостью. В этом случае линия пересечения может быть построена с помощью основных элементов, определяющих эту кривую. Так, сфера пересекается с плоскостью всегда по окружности.

В машиностроительном черчении условные разрезы деталей, с геометрической точки зрения, представляют собой сечения изображаемых деталей плоскостями параллельными фронтальной, горизонтальной или профильной плоскостям проекций.

Рассмотрим пример пересечения поверхности вращения общего вида плоскостью частного положения и определим натуральную величину сечения.

Задача: Построить линию пересечения поверхности вращения общего вида фронтально проецирующей плоскостью Р (рис.7.3).

Решение:

Линия пересечения – плоская кривая второго порядка. Фронтальная проекция линии пересечения совпадает со следом плоскости P_V-[1_V…2_V], горизонтальная проекция строится по точкам.

Среди множества точек, принадлежащих линии пересечения, следует различать характерные (экстремальные или опорные и точки видимости) и произвольные точки:

Рис. 7.3. Сечение поверхности вращения плоскостью P

1 и 2 - высшая и низшая точки, а также самая левая и самая правая точки (экстремальные точки). Они расположены на главном меридиане поверхности Ф, поэтому горизонтальные проекции этих точек 1_Н и 2_Н находят по линии связи на горизонтальной проекции главного меридиана.

3 и 4- самая близкая и самая удаленная точки (точки видимости). Они расположены на экваторе поверхности Ф, поэтому горизонтальные проекции этих точек 3_Н и 4_Н находят по линиям связи на горизонтальной проекции экватора.

Для построения линии пересечения недостаточно этих точек, поэтому находят еще ряд произвольных точек. Для нахождения горизонтальных проекций произвольных точек 5; 6; 7 и т.д. можно воспользоваться окружностями - параллелями hÈ и hÈ È, взятыми наповерхностивращения Ф и проходящими через эти точки.

Горизонтальные проекции точек 9; 10; 7; 8 находят на линии связи на соответствующих проекциях окружностей – параллелей h¢ _Н и h² _Н.

Полученные проекции точек соединяют плавной кривой с учетомвидимости.

Видимость линии пересечения на горизонтальной проекции определяют точки 3 и 4, расположенные на экваторе поверхности Ф.

Часть линии пересечения {3_Н, 5_Н, 7_Н, 1_Н, 8_Н, 6_Н, 4_Н} видима, т. к. расположена выше экватора, другая часть линии пересечения {3_Н, 2_Н, 4_Н} – невидима. На фронтальной проекции видимая и невидимая часть линии пересечения совпадают.

Натуральная величина сечения определена способом вращения вокруг проецирующей оси.