Метод сумм

Пример. Найти методом сумм асимметрию и эксцесс по данному распределению выборки объема :

.

Решение. Воспользуемся методом сумм, для этого составим расчетную табл. Уже было указано, как заполняются столбцы 1-4 расчетной таблицы, поэтому ограничимся краткими пояснениями.

Для заполнения столбца 5 запишем нуль в клетке строки, содержащей ложный нуль (51); над этим нулем и под ним поставим еще по два нуля.

В клетках над нулями запишем накопленные частоты, для чего просуммируем частоты столбца 4 сверху вниз; в итоге будем иметь следующие накопленные частоты: 2; 2+8=10; 2+8+20=30. Сложив накопленные частоты, получим число , которое поместим в верхнюю клетку пятого столбца.

В клетках под нулями запишем накопленные частоты, для чего просуммируем частоты столбца 4 снизу вверх; в итоге будем иметь следующие накопленные частоты: 5; 5+17=22. Сложив накопленные частоты, получим число , которое поместим в нижнюю клетку пятого столбца.

Аналогично заполняют столбец 6, причем суммируем частоты столбца 5. Сложив накопленные частоты, расположенные над нулями, получим число , которое запишем в верхнюю клетку шестого столбца. Сложив числа, расположенные под нулями (в нашей задаче есть лишь одно слагаемое), получим число , которое поместим в нижнюю клетку шестого столбца.

В итоге получим расчетную табл. 4.

Контроль: сумма чисел, расположенных непосредственно над нулем третьего столбца, слева от него и под ним, должна быть равна объему выборки (30+35+35=100); сумма двух чисел, расположенных над двумя ступеньками ступенчатой линии (обведены жирными отрезками), должна быть рана соответственно числам , стоящими над предшествующей ступенькой (при движении по «лесенке» вверх): ; ; .

Таблица 4

 

Аналогично проверяется совпадение сумм двух чисел, стоящих под «ступеньками лесенки», ведущей вниз: ; ; . При несовпадении хотя бы одной из указанных сумм следует искать ошибку в расчете.

Найдем и :

, , ;

; ;

; .

 

Найдем условные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков:

; ;

;

.

Найдем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:

,

.

Найдем искомые асимметрию и эксцесс, учитывая, что ():

;

.