Теоретические основы. При построении эконометрической модели используются два типа данных:

При построении эконометрической модели используются два типа данных:

1) данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент времени;

2) данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов времени.

Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называются моделями временных рядов.

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.

Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.

Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (Т), циклической (S) и случайной (Е) компонент.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда.

Таким образом:

Ø Аддитивная модель имеет вид: Y = Т + S + Е;

Ø мультипликативная модель - Y = T× S× Е.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений Т, S и Е для каждого уровня ряда.

Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

В общем случае, построение моделивключает следующие шаги:

1) выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2) расчет значений сезонной компоненты S;

3) устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной (T + Е) или в мультипликативной (Т ∙ Е) модели;

4) аналитическое выравнивание уровней (Т + Е) или (T ∙ Е) и расчет значений Г с использованием полученного уравнения тренда;

5) расчет полученных по модели значений (Т + S) или (T ∙ S);

6) расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Автокорреляция уровней ряда - это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда:

 

 

где - коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка;

 

 

где - коэффициент автокорреляции уровней ряда второго порядка.

Формулы для расчета коэффициентов автокорреляции старших порядков легко получить из формулы линейного коэффициента корреляции.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционнои функцией временного ряда, а график зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) - коррелограммой.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Свойства коэффициента автокорреляции.

1. Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции.

2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом.

Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравниванием временного ряда. Для этого чаще всего применяются следующие функции:

· линейная = a + b ∙ t;

· гипербола = a + b / t;

· экспонента = е^a+bt;

· степенная функция = a ∙ t^b;

· парабола второго и более высоких порядков = a + b_l ∙ t + b₂ ∙ t²+... + b_k ∙ t^k.

Параметры трендов определяются обычным МНК, в качестве независимой переменной выступает время t = 1, 2,..., n, а в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного ряда у_t. Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации .

Простейший подход к моделированию сезонных колебаний – это расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

Общий вид аддитивной модели следующий:

 

.

 

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (), сезонной () и случайной () компонент.

Общий вид мультипликативной модели выглядит так:

 

.

 

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (), сезонной () и случайной () компонент.

Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений , и для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2) Расчет значений сезонной компоненты .

3) Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных () в аддитивной или () в мультипликативной модели.

4) Аналитическое выравнивание уровней () или () и расчет значений с использованием полученного уравнения тренда.

5) Расчет полученных по модели значений () или ().

6) Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимо-погашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле.

Скорректированные значения сезонной компоненты в аддитивной модели равны , где , в мультипликативной модели получаются при умножении ее средней оценки на корректирующий коэффициент , где .

Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент, в мультипликативной модели есть произведение трендовой и сезонной компонент.

При построении моделей регрессии по временным рядам для устранения тенденции используются следующие методы.

Метод отклонений от тренда предполагает вычисление трендовых значений для каждого временного ряда модели, например и , и расчет отклонений от трендов: y_t — и x_t - . Для дальнейшего анализа используют не исходные данные, а отклонения от тренда.

Метод последовательных разностей заключается в следующем: если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями:

Δ _t = y_t – y_t-1 = b + ( ε ₁ – ε _t-1 );

если параболический тренд - вторыми разностями:

 

 

В случае экспоненциального и степенного тренда метод последовательных разностей применяется к логарифмам исходных данных.

Модель, включающая фактор времени, имеет вид

y_t = a + b₁ ∙ x_t + b₂ ∙ t + ε _t.

 

Параметры а и b этой модели определяются обычным МНК.

Автокорреляция в остатках - корреляционная зависимость между значениями остатков е, за текущий и предыдущие моменты времени.

Эта автокорреляция может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу.

1. Она может быть связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.

2. В ряде случаев автокорреляция может быть следствием неправильной спецификации модели. Модель может не включать фактор, который оказывает существенное воздействие на результат и влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени .

Для определения автокорреляции остатков используют критерий Дарбина - Уотсона и расчет величины:

 

 

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется по формуле

 

 

Критерий Дарбина - Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков первого порядка связаны соотношением

 

d ≈ 2(1 - ).

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и , то . Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то и, следовательно, . Если автокорреляция остатков отсутствует, то и . Т.е. .

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы и состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона и для заданного числа наблюдений , числа независимых переменных модели и уровня значимости . По этим значениям числовой промежуток разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью осуществляется следующим образом:

– есть положительная автокорреляция остатков, отклоняется, с вероятностью принимается ;

– зона неопределенности;

– нет оснований отклонять , т.е. автокорреляция остатков отсутствует;

– зона неопределенности;

– есть отрицательная автокорреляция остатков, отклоняется, с вероятностью принимается .

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу .

Эконометрические модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных, называются моделями с распределенным лагом.

Модель с распределенным лагом в предположении, что максимальная величина лага конечна, имеет вид

 

y_t = a + b₀ x_t + b₁ х_t-1 +... + b_р x_t-p + ε _t.

 

Коэффициент регрессии b₀ при переменной х_t характеризует среднее абсолютное изменение у_t при изменении х_t на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора х. Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.

В момент (t + 1) воздействие факторной переменной х_t на результат у_t составит (b₀ + b₁) условных единиц; в момент времени (t + 2) воздействие можно охарактеризовать суммой (b₀ + b₁ + b₂) и т.д. Эти суммы называют промежуточными мультипликаторами. Для максимального лага (t + l) воздействие фактора на результат описывается суммой (b₀ + b₁ +... + b₁ = b), которая называется долгосрочным мультипликатором.

Величины

 

 

называются относительными коэффициентами модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты b_j имеют одинаковые знаки, то для любого j

 

0 < β _j < 1 и = 1.

 

Величина среднего лага модели множественной регрессии определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

 

 

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент t.

Медианный лаг - это период, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат:

 

 

где 1_Ме - медианный лаг

 

Оценку параметров моделей с распределенными лагами можно проводить согласно одному из двух методов: методу Койка или методу Алмон.

В распределении Койка делается предположение, что коэффициенты при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии:

b₁ = b₀ ∙ λ ^l, l = 0, 1, 2,..., 0 < λ < 1.

 

Уравнение регрессии преобразуется к виду

 

y_t =a + b₀ x_t + b₀ λ x_t-1 + b₀ λ ² x_t-2 +... + ε _t.

 

После несложных преобразований получаем уравнение, оценки параметров которого приводят к оценкам параметров исходного уравнения.

В методе Алмон предполагается, что веса текущих и лаговых значений объясняющих переменных подчиняются полиномиальному распределению:

b_j = c₀ + с ₁ j + c₂j² +...+ c_kj^k.

 

Уравнение регрессии примет вид

 

y_t = a + c₀ z₀ + c₁ ∙ z₁ +c₂ ∙ z₂ +... + c_k ∙ z_k + ε _t,

 

где x_t-j = jl, I = 1, k, j = 1,, р

 

Расчет параметров модели с распределенным лагом методом Алмон проводится по следующей схеме:

1) устанавливается максимальная величина лага l;

2) определяется степень полинома k, описывающего структуру лага;

3) рассчитываются значения переменных z_o,..., z_k;

4) определяются параметры уравнения линейной регрессии у_t от z₁;

5) рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом.

Модели, содержащие в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной, называются моделями авторегрессии, например:

y_t = a + b₀ ∙ x_t + c₁ ∙ y_t-1 + ε _t.

 

Как и в модели с распределенным лагом, b₀ в этой модели характеризует краткосрочное изменение у, под воздействием изменения х, на 1 ед. Долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии рассчитывается как сумма краткосрочного и промежуточных мультипликаторов:

 

b = b₀ + b₀ ∙ c₁ + b₀ ∙ c₁ ² + b₀ ∙ c₁ ³ +... = b₀ ∙ (1 + c₁ + c₁ ² + c₁ ³ +...) = b₀ /(1 - c₁).

 

Отметим, что такая интерпретация коэффициентов модели авторегрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличии бесконечного лага в воздействии текущего значения зависимой переменной на ее будущие значения.