ТЕОРЕМА О КВАНТОВАНИИ

Если моменты квантования следуют достаточно часто, то при квантовании непрерывного сигнала потери информации незначительны, и наоборот. В качестве примера можно привести квантование синусоиды.

Квантование синусоиды осуществляется два раза за период. Поэтому синусоида неотличима от нулевого сигнала, если частота синусоидального сигнала равна половине частоты квантования.

Для квантования непрерывного сигнала необходимо знать, при каких условиях непрерывный (аналоговый) сигнал однозначно представляется соответствующими дискретными функциями (своими дискретами). Следующая теорема определяет условия квантования периодической функции.

ТЕОРЕМА ШЕНОНА.
Непрерывный сигнал, преобразование которого по Фурье равны нулю вне интервала , однозначно представляется своими значениями в равноотстоящих точках, если частота квантования больше . При этом непрерывный сигнал может быть получен из дискретного по интерполяционной формуле

, ( 1 )

где – период квантования; - угловая частота квантования, ее размерность [1/с] (радиан в секунду).

Доказательство. Пусть – непрерывный сигнал; - его преобразование по Фурье

, ( 2 )

( 3 )

Введем в рассмотрение функцию

, ( 4 )

разложение которой в ряд Фурье имеет вид

, ( 5 )

где .

Предположим теперь, что дискреты можно рассматривать как коэффициенты ряда Фурье для периодической функции . (Это проверяется непосредственными вычислениями). Тогда, используя определения коэффициентов Фурье и выражения ( 3 ) и ( 4 ), можно показать, что

. ( 6 )

Отсюда следует, что квантованный сигнал однозначно определяет функцию . По условию теоремы функция равна нулю вне интервала . Если , то

. (7)

Таким образом, преобразование Фурье непрерывного сигнала однозначно представляется функцией , которая в свою очередь определяется дискретной функцией

.

Для доказательства справедливости ( 1 ) заметим, что она может быть получена из ( 2 ) и ( 7 )

с учетом ( 5 ) и ( 6 ). Меняя порядок интегрирования и суммирования, имеем

.

Откуда получаем (1), т.к. .