Дискретное преобразование Фурье. Это преобразование позволяет распространить частотные методы исследования, разработанные для непрерывных систем автоматического управления

Это преобразование позволяет распространить частотные методы исследования, разработанные для непрерывных систем автоматического управления, на дискретные системы.

Пусть абсцисса абсолютной сходимости дискретного преобразования Лапласа (1) функции отрицательна . Тогда изображение существует и является аналитической функцией в правой полуплоскости и на мнимой оси. Пологая в формуле (1) , получим

. (34)

Эта формула прямого преобразования дискретного Фурье.

Обратное дискретное преобразование Фурье определяется по формуле

. (35)

Эта формула получается из формулы обратного дискретного преобразования Лапласа при .

Функцию в этом случае можно назвать спектральной характеристической дискретной функцией .

Связь между непрерывным преобразованием Фурье для непрерывной функции и соответствующей ей дискретной функции , имеющей дискретное преобразование Фурье определяется формулой

(36)

.

В частности при формула (36) принимает вид

. (37)

Выражение (36) связывает преобразование Фурье функции и дискретное преобразование Фурье соответствующей дискретной функцией . Формулу (36) можно переписать следующим образом

, (38)

где .

Из формул (36) и (38) следует теорема Котельникова, которая устанавливает связь между непрерывными и дискретными функциями.