Пусть дискретная функция
определена при положительных значениях аргумента
. Требуется найти такую дискретную функцию
, для которой функция
является первой разностью. Эта задача аналогична задаче о нахождении первообразной в анализе непрерывных функций. Искомая функция имеет вид
, где 
Действительно
.
Функция
называется первообразной для дискретной функции
.
Если дискретная функция
определена при всех целочисленных значениях аргумента k=0, ±1, ±2, …, то для определения первообразной необходимо дополнительно потребовать, чтобы при каждом конечном
сходился ряд
. При этом условии первообразная определяется выражением
.
Если функция
является первообразной для функции
, то и функция
также является первообразной для дискретной функции
, где
– постоянная величина. Действительно
.
Таким образом, общий вид первообразной для данной дискретной функции
определяется формулой
.
Значение постоянной
можно выразить через значение первообразной при некотором фиксированном значении аргумента, например при 
.
Подставляя полученное выражение в формулу (19), найдем
.
Откуда
(20)
для любого
.
Формула (20) является аналогом соответствующей формулы интегрального исчисления, связывающей интеграл с первообразной, ее можно записать в виде
, для
. (21)
Сумму, стоящую в правой части этого выражения, иногда называют определенной суммой по аналогии с определенным интегралом. Учитывая условие
, можно переписать равенство (21) следующим образом
(22)
или при 
. (23)
Для дискретных функций справедлива формула суммирования по частям, аналогичная формуле интегрирования по частям для обычных функций. Если в формуле (23) положить
,
.
то
.