Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами

 

Линейным разностным уравнением называется соотношение вида

, (1)

где , …, – постоянные числа; – заданная дискретная функция. Разностное уравнение устанавливает связь между дискретной функцией и ее разностями. С помощью формулы

(2)

уравнение (1) можно преобразовать к виду

. (3)

При этом коэффициенты связаны с коэффициентами соотношением

. (4)

Число в уравнении (3) называется периодом разностного уравнения. Число в равенстве (1) и (3) могут не совпадать, но порядок разностного уравнения (1) определяется после его преобразования к уравнению вида (3). Таким образом, порядок разностного уравнения (1) может отличаться от порядка старшей разности.

Дискретная функция , которая обращает разностное уравнение в тождество, называется решением разностного уравнения. Далее мы будем рассматривать разностные уравнения, записанные в виде (3).

Разностное уравнение вида (3) называется неоднородным разностным уравнением порядка . Если , то уравнение (3) принимает вид

(5)

и называется однородным разностным уравнением.

Пример. Определить порядок разностного уравнения

Решение. Отметим, что исходное уравнение – однородное.

,

.

Подставим это равенство в исходное уравнение

,

.

Замена переменной дает

.

Следовательно, порядок исходного разностного уравнения равен единице.